ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divrecap Unicode version

Theorem divrecap 8441
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divrecap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecap
StepHypRef Expression
1 simp2 982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  B  e.  CC )
2 simp1 981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  A  e.  CC )
3 recclap 8432 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
433adant1 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
51, 2, 4mul12d 7907 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B  x.  ( A  x.  ( 1  /  B
) ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
6 recidap 8439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
763adant1 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
87oveq2d 5783 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  x.  ( B  x.  ( 1  /  B
) ) )  =  ( A  x.  1 ) )
92mulid1d 7776 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
105, 8, 93eqtrd 2174 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B  x.  ( A  x.  ( 1  /  B
) ) )  =  A )
112, 4mulcld 7779 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  CC )
12 3simpc 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
13 divmulap 8428 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  x.  (
1  /  B ) )  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) )  <->  ( B  x.  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )  =  A ) )
142, 11, 12, 13syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  <->  ( B  x.  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )  =  A ) )
1510, 14mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614    x. cmul 7618   # cap 8336    / cdiv 8425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426
This theorem is referenced by:  divrecap2  8442  divassap  8443  divdirap  8450  dividap  8454  divnegap  8459  rec11ap  8463  divdiv32ap  8473  redivclap  8484  divrecapzi  8503  divrecapi  8510  divrecapd  8546  expdivap  10337  efival  11428  ef01bndlem  11452  cos01bnd  11454  divcnap  12713
  Copyright terms: Public domain W3C validator