Theorem imdivap 10546

Description: Imaginary part of a division. Related to immul2 10545. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imdivap	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Proof of Theorem imdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
2		3anass 949	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
3	1, 2	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) )
4		rerecclap 8403	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. RR )
5	4	anim1i 336	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
6	3, 5	sylbir 134	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
7		immul2 10545	. . 3 |- ( ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
9		recn 7677	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
10		divrecap2 8362	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )
11	10	fveq2d 5379	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
12	9, 11	syl3an2 1233	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
13		imcl 10519	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
14	13	recnd 7718	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
15	14	3ad2ant1 985	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` A ) e. CC )
16	9	3ad2ant2 986	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B e. CC )
17		simp3 966	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B # 0 )
18	15, 16, 17	divrecap2d 8467	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( Im ` A ) / B ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2157	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548   x. cmul 7552   # cap 8261   / cdiv 8345   Imcim 10506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-2 8689  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509

This theorem is referenced by:  imdivapd  10640