Theorem imdivap 11192

Description: Imaginary part of a division. Related to immul2 11191. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imdivap	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Proof of Theorem imdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
2		3anass 985	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
3	1, 2	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) )
4		rerecclap 8803	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. RR )
5	4	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
6	3, 5	sylbir 135	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
7		immul2 11191	. . 3 |- ( ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
9		recn 8058	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
10		divrecap2 8762	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )
11	10	fveq2d 5580	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
12	9, 11	syl3an2 1284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
13		imcl 11165	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
14	13	recnd 8101	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
15	14	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` A ) e. CC )
16	9	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B e. CC )
17		simp3 1002	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B # 0 )
18	15, 16, 17	divrecap2d 8867	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( Im ` A ) / B ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2248	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   # cap 8654   / cdiv 8745   Imcim 11152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-2 9095  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155

This theorem is referenced by:  imdivapd  11286