Theorem imdivap 11441

Description: Imaginary part of a division. Related to immul2 11440. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imdivap	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Proof of Theorem imdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
2		3anass 1008	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) <-> ( A e. CC /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) )
3	1, 2	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) )
4		rerecclap 8909	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. RR )
5	4	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ B # 0 ) /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
6	3, 5	sylbir 135	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) )
7		immul2 11440	. . 3 |- ( ( ( 1 / B ) e. RR /\ A e. CC ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
9		recn 8164	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
10		divrecap2 8868	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )
11	10	fveq2d 5643	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
12	9, 11	syl3an2 1307	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( Im ` ( ( 1 / B ) x. A ) ) )
13		imcl 11414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
14	13	recnd 8207	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
15	14	3ad2ant1 1044	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` A ) e. CC )
16	9	3ad2ant2 1045	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B e. CC )
17		simp3 1025	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B # 0 )
18	15, 16, 17	divrecap2d 8973	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( Im ` A ) / B ) = ( ( 1 / B ) x. ( Im ` A ) ) )
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Im ` ( A / B ) ) = ( ( Im ` A ) / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   # cap 8760   / cdiv 8851   Imcim 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404

This theorem is referenced by:  imdivapd  11535