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Theorem bposlem8 16247

Description: Lemma for bpos 16249. Show that

is less than

. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem7.1
bposlem7.2

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem8	; $/\$ ;

**Proof of Theorem bposlem8**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 9589	. . . . 5
2		4nn 9473	. . . . 5
3	1, 2	decnncl 9805	. . . 4 ;
4		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
5		8cn 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6	5	sqvali 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
7		8t8e64 9907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
8	6, 7	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
9	8	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
10		0re 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11		8re 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		8pos 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	10, 11, 12	ltleii 8430	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	11	sqrtsqi 11906	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	9, 15	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
17	4, 16	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 ;
18	17	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 ;
19		8nn 9477	. . . . . . . . . . . . 13
20		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . . 13
21		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		cu2 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24		2rp 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25		3z 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26		relogexp 16034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
27	24, 25, 26	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	23, 27	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	21, 28	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	29, 30	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		3cn 9382	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		2nn 9471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35		relogcl 16023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36	33, 34, 35	mp2b 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	recni 8339	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	11, 12	gt0ap0ii 8959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #
39	32, 37, 5, 38	div23api 9103	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	31, 39	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14
41		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . . . 14
42		znq 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
43	25, 19, 42	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44		qre 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	45, 36	remulcli 8341	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . 14
48	40, 41, 47	fvmpt 5782	. . . . . . . . . . . . 13
49	19, 20, 48	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12
50	18, 49	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ;
51	50	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 ;
52		sqrt2re 12961	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	recni 8339	. . . . . . . . . . . 12
54	32, 5, 38	divclapi 9087	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54, 37	mulassi 8336	. . . . . . . . . . 11
56		4cn 9385	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	53, 56, 53	mul12i 8474	. . . . . . . . . . . . . . 15
58		2re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59		0le2 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60		remsqsqrt 11814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
61	58, 59, 60	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	61	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		4t2e8 9467	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	57, 62, 63	3eqtri 2263	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . 13
66	56, 53	mulcli 8332	. . . . . . . . . . . . . . 15
67		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68	2, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
69		rpsqrtcl 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70	33, 34, 69	mp2b 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
71		rpmulcl 10090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
72	68, 70, 71	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		rpap0 10082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
75		rpap0 10082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #
76	24, 69, 75	mp2b 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
77		divcanap5 9047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
78	32, 77	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ $/\$ #
79	66, 74, 53, 76, 78	mp4an 431	. . . . . . . . . . . . . 14
80		4ap0 9406	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
81		divdivap1 9056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
82	32, 81	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ $/\$ #
83	56, 80, 53, 76, 82	mp4an 431	. . . . . . . . . . . . . 14
84	79, 83	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . 13
85	53, 32, 5, 38	divassapi 9101	. . . . . . . . . . . . 13
86	65, 84, 85	3eqtr3ri 2268	. . . . . . . . . . . 12
87	86	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . 11
88	55, 87	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . 10
89	51, 88	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 ;
90		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
91		df-6 9370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	91	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93		2exp6 13236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
94		2cn 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95		5nn0 9588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96		expp1 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
97	94, 95, 96	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
98	92, 93, 97	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
99	98	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
100		nnexpcl 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
101	33, 95, 100	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	nncni 9317	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	33	nnap0i 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #
104	102, 94, 103	divcanap4i 9092	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	99, 104	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
106	90, 105	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 ;
107	106	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 ;
108		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . . 13
109		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110		5nn 9474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111	110	nnzi 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112		relogexp 16034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	24, 111, 112	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114	109, 113	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	114, 115	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15
117		5cn 9387	. . . . . . . . . . . . . . . 16
118	101	nnap0i 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #
119	117, 37, 102, 118	div23api 9103	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	116, 119	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14
121		znq 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	111, 101, 121	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123		qre 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124, 36	remulcli 8341	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . 14
127	120, 41, 126	fvmpt 5782	. . . . . . . . . . . . 13
128	101, 108, 127	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12
129	107, 128	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ;
130	129	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 ;
131		9cn 9395	. . . . . . . . . . . 12
132	131, 56, 80	divclapi 9087	. . . . . . . . . . 11
133	117, 102, 118	divclapi 9087	. . . . . . . . . . 11
134	132, 133, 37	mulassi 8336	. . . . . . . . . 10
135	130, 134	eqtr4di 2289	. . . . . . . . 9 ;
136	89, 135	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 ;
137	32, 56, 80	divclapi 9087	. . . . . . . . . 10
138	137, 53, 76	divclapi 9087	. . . . . . . . 9
139	132, 133	mulcli 8332	. . . . . . . . 9
140	138, 139, 37	adddiri 8338	. . . . . . . 8
141	136, 140	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 ;
142		oveq2 6093	. . . . . . . . . . 11 ; ;
143	142	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 ; ;
144	3	nnrei 9316	. . . . . . . . . . . 12 ;
145	3	nngt0i 9337	. . . . . . . . . . . . 13 ;
146	10, 144, 145	ltleii 8430	. . . . . . . . . . . 12 ;
147	58, 144, 59, 146	sqrtmulii 11917	. . . . . . . . . . 11 ; ;
148	16	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . 11 ;
149	147, 148	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ;
150	143, 149	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 ;
151	150	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 ;
152	53, 5	mulcli 8332	. . . . . . . . . 10
153		rpmulcl 10090	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
154	70, 20, 153	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11
155		rpap0 10082	. . . . . . . . . . 11 #
156	19, 154, 155	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 #
157		divrecap2 9022	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
158	37, 152, 156, 157	mp3an 1378	. . . . . . . . 9
159	53, 5	mulcomi 8333	. . . . . . . . . . . 12
160	159	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . 11
161		recdivap2 9058	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # $/\$ $/\$ #
162	5, 38, 53, 76, 161	mp4an 431	. . . . . . . . . . 11
163	160, 162	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . 10
164	163	oveq1i 6095	. . . . . . . . 9
165	158, 164	eqtri 2259	. . . . . . . 8
166	151, 165	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ;
167	141, 166	oveq12d 6103	. . . . . 6 ;
168	138, 139	addcli 8331	. . . . . . 7
169	5, 38	recclapi 9075	. . . . . . . 8
170	169, 53, 76	divclapi 9087	. . . . . . 7
171	168, 170, 37	adddiri 8338	. . . . . 6
172	167, 171	eqtr4di 2289	. . . . 5 ;
173		bposlem7.1	. . . . 5
174		3re 9381	. . . . . . . . . . 11
175		4re 9384	. . . . . . . . . . 11
176	174, 175, 80	redivclapi 9112	. . . . . . . . . 10
177	176, 52, 76	redivclapi 9112	. . . . . . . . 9
178		9nn 9478	. . . . . . . . . . . . 13
179	178	nnzi 9670	. . . . . . . . . . . 12
180		znq 10034	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
181	179, 2, 180	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11
182		qre 10035	. . . . . . . . . . 11
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
184	183, 124	remulcli 8341	. . . . . . . . 9
185	177, 184	readdcli 8340	. . . . . . . 8
186	11, 38	rerecclapi 9110	. . . . . . . . 9
187	186, 52, 76	redivclapi 9112	. . . . . . . 8
188	185, 187	readdcli 8340	. . . . . . 7
189	188, 36	remulcli 8341	. . . . . 6
190	189	elexi 2834	. . . . 5
191	172, 173, 190	fvmpt 5782	. . . 4 ; ;
192	3, 191	ax-mp 5	. . 3 ;
193		9re 9394	. . . . . . . 8
194	193, 175, 80	redivclapi 9112	. . . . . . 7
195		5re 9386	. . . . . . . 8
196	101	nnrei 9316	. . . . . . . 8
197	195, 196, 118	redivclapi 9112	. . . . . . 7
198	194, 197	remulcli 8341	. . . . . 6
199	177, 198	readdcli 8340	. . . . 5
200	199, 187	readdcli 8340	. . . 4
201	200, 36	remulcli 8341	. . 3
202	192, 201	eqeltri 2311	. 2 ;
203	138, 139, 170	add32i 8492	. . . . . 6
204		6cn 9389	. . . . . . . . . . 11
205		ax-1cn 8273	. . . . . . . . . . 11
206	204, 205, 5, 38	divdirapi 9102	. . . . . . . . . 10
207		df-7 9371	. . . . . . . . . . 11
208	207	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10
209		divcanap5 9047	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $/\$ $/\$ #
210	32, 209	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ $/\$ #
211	56, 80, 94, 103, 210	mp4an 431	. . . . . . . . . . . 12
212		2t3e6 9465	. . . . . . . . . . . . 13
213		2t4e8 9468	. . . . . . . . . . . . 13
214	212, 213	oveq12i 6097	. . . . . . . . . . . 12
215	211, 214	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . 11
216	215	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10
217	206, 208, 216	3eqtr4ri 2270	. . . . . . . . 9
218	217	oveq1i 6095	. . . . . . . 8
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222	218, 219, 221	3eqtr3i 2267	. . . . . . 7
223	222	oveq1i 6095	. . . . . 6
224	203, 223	eqtri 2259	. . . . 5
225		4nn0 9587	. . . . . . . . . . . 12
226		9nn0 9592	. . . . . . . . . . . 12
227		0nn0 9583	. . . . . . . . . . . 12
228		9lt10 9917	. . . . . . . . . . . 12 ;
229		4lt5 9485	. . . . . . . . . . . 12
230	225, 95, 226, 227, 228, 229	decltc 9815	. . . . . . . . . . 11 ; ;
231		7t7e49 9900	. . . . . . . . . . 11 ;
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233	53, 53, 117, 117	mul4i 8476	. . . . . . . . . . . 12
234		5t2e10 9886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
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236	235	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . 13 ;
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238	95	dec0u 9807	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
239	236, 237, 238	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . . 12 ;
240	232, 233, 239	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . 11 ;
241	230, 231, 240	3brtr4i 4160	. . . . . . . . . 10
242		7re 9390	. . . . . . . . . . . 12
243		7pos 9409	. . . . . . . . . . . 12
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267	5, 38, 266	mp2an 430	. . . . . . . . 9
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293		6re 9388	. . . . . . . . . . . . 13
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326		2nn0 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15
327		expadd 11033	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
328	94, 326, 95, 327	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . 14
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330	22	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . 13
331		sq2 11087	. . . . . . . . . . . . . 14
332	331	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . 13
333	329, 330, 332	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . . 12
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338		1re 8326	. . . . . . . . . 10
339		ltsub2 8789	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
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344	195, 11, 38	redivclapi 9112	. . . . . . . 8
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346	343, 344, 345	lttri 8432	. . . . . . 7 $/\$
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349	347, 348	mpbir 146	. . . . 5
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351		1lt2 9479	. . . . . . 7
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354		rpgt0 10077	. . . . . 6
355	353, 354	ax-mp 5	. . . . 5
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358	37	mullidi 8330	. . . 4
359	358	eqcomi 2242	. . 3
360	357, 192, 359	3brtr4i 4160	. 2 ;
361	202, 360	pm3.2i 272	1 ; $/\$ ;

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4130

cmpt 4192

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8178

cr 8179

cc0 8180

c1 8181

caddc 8183

cmul 8185

clt 8361

cle 8362

cmin 8499 # cap 8912

cdiv 9005

cn 9307

c2 9358

c3 9359

c4 9360

c5 9361

c6 9362

c7 9363

c8 9364

c9 9365

cn0 9568

cz 9649 ;cdc 9782

cq 10029

crp 10065

cexp 10990

csqrt 11778

clog 16017

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300 ax-pre-suploc 8301 ax-addf 8302 ax-mulf 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-disj 4107 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-of 6302 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-er 6807 df-map 6924 df-pm 6925 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7325 df-inf 7326 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-5 9369 df-6 9370 df-7 9371 df-8 9372 df-9 9373 df-n0 9569 df-z 9650 df-dec 9783 df-uz 9932 df-q 10030 df-rp 10066 df-xneg 10185 df-xadd 10186 df-ioo 10305 df-ico 10307 df-icc 10308 df-fz 10423 df-fzo 10561 df-seqfrec 10900 df-exp 10991 df-fac 11180 df-bc 11202 df-ihash 11231 df-shft 11596 df-cj 11623 df-re 11624 df-im 11625 df-rsqrt 11780 df-abs 11781 df-clim 12064 df-sumdc 12139 df-ef 12434 df-e 12435 df-rest 13647 df-topgen 13666 df-psmet 14932 df-xmet 14933 df-met 14934 df-bl 14935 df-mopn 14936 df-top 15158 df-topon 15171 df-bases 15203 df-ntr 15256 df-cn 15348 df-cnp 15349 df-tx 15413 df-cncf 15731 df-limced 15816 df-dvap 15817 df-relog 16019

This theorem is used by: bposlem9 16248

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