Theorem imre 11491

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imre	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imval 11490	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
2		ax-icn 8187	. . . . 5 |- _i e. CC
3		iap0 9426	. . . . 5 |- _i # 0
4		divrecap2 8928	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ _i e. CC /\ _i # 0 ) -> ( A / _i ) = ( ( 1 / _i ) x. A ) )
5	2, 3, 4	mp3an23 1366	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) = ( ( 1 / _i ) x. A ) )
6		irec 10964	. . . . 5 |- ( 1 / _i ) = -u _i
7	6	oveq1i 6038	. . . 4 |- ( ( 1 / _i ) x. A ) = ( -u _i x. A )
8	5, 7	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) = ( -u _i x. A ) )
9	8	fveq2d 5652	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
10	1, 9	eqtrd 2264	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   _ici 8094   x. cmul 8097   -ucneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911   Recre 11480   Imcim 11481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484

This theorem is referenced by:  imcl  11494  absimle  11724  recan  11749