Theorem znegcl 9686

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9657	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8526	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8579	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9666	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2329	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9658	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9674	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1344	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   RRcr 8184   0cc0 8185   -ucneg 8505   NNcn 9313   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656

This theorem is used by:  znegclb  9688  nn0negz  9689  peano2zm  9693  zsubcl  9696  zeo  9762  zindd  9775  znegcld  9781  uzneg  9957  qnegcl  10052  fzsubel  10483  fzosubel  10629  ceilid  10773  modqcyc2  10818  expsubap  11045  climshft  12095  negdvdsb  12599  dvdsnegb  12600  summodnegmod  12614  dvdssub  12630  odd2np1  12665  bitscmp  12750  gcdneg  12784  neggcd  12785  gcdabs  12790  bezoutlemaz  12805  bezoutlembz  12806  lcmneg  12877  neglcm  12878  lcmabs  12879  4sqexercise1  13206  4sqexercise2  13207  mulgval  13984  mulgaddcomlem  14007  mulgneg2  14018  mulgsubdir  14024  zsubrg  15027  zringmulg  15042  zringinvg  15048  sinperlem  16035  lgsneg  16348  lgsdir2lem4  16355  lgsdir2lem5  16356  ex-fl  16944