Theorem znegcl 9498

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9469	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8360	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8413	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9478	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2320	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9470	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9486	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1337	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   RRcr 8019   0cc0 8020   -ucneg 8339   NNcn 9131   ZZcz 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-z 9468

This theorem is referenced by:  znegclb  9500  nn0negz  9501  peano2zm  9505  zsubcl  9508  zeo  9573  zindd  9586  znegcld  9592  uzneg  9763  qnegcl  9858  fzsubel  10283  fzosubel  10427  ceilid  10565  modqcyc2  10610  expsubap  10837  climshft  11852  negdvdsb  12355  dvdsnegb  12356  summodnegmod  12370  dvdssub  12386  odd2np1  12421  bitscmp  12506  gcdneg  12540  neggcd  12541  gcdabs  12546  bezoutlemaz  12561  bezoutlembz  12562  lcmneg  12633  neglcm  12634  lcmabs  12635  4sqexercise1  12958  4sqexercise2  12959  mulgval  13696  mulgaddcomlem  13719  mulgneg2  13730  mulgsubdir  13736  zsubrg  14582  zringmulg  14599  zringinvg  14605  sinperlem  15519  lgsneg  15740  lgsdir2lem4  15747  lgsdir2lem5  15748  ex-fl  16231