Theorem znegcl 9488

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9459	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8350	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8403	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9468	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2320	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9460	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9476	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1337	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   RRcr 8009   0cc0 8010   -ucneg 8329   NNcn 9121   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458

This theorem is referenced by:  znegclb  9490  nn0negz  9491  peano2zm  9495  zsubcl  9498  zeo  9563  zindd  9576  znegcld  9582  uzneg  9753  qnegcl  9843  fzsubel  10268  fzosubel  10412  ceilid  10549  modqcyc2  10594  expsubap  10821  climshft  11831  negdvdsb  12334  dvdsnegb  12335  summodnegmod  12349  dvdssub  12365  odd2np1  12400  bitscmp  12485  gcdneg  12519  neggcd  12520  gcdabs  12525  bezoutlemaz  12540  bezoutlembz  12541  lcmneg  12612  neglcm  12613  lcmabs  12614  4sqexercise1  12937  4sqexercise2  12938  mulgval  13675  mulgaddcomlem  13698  mulgneg2  13709  mulgsubdir  13715  zsubrg  14561  zringmulg  14578  zringinvg  14584  sinperlem  15498  lgsneg  15719  lgsdir2lem4  15726  lgsdir2lem5  15727  ex-fl  16172