Theorem znegcl 9405

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9376	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8267	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8320	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9385	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2296	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9377	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9393	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1316	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   RRcr 7926   0cc0 7927   -ucneg 8246   NNcn 9038   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-z 9375

This theorem is referenced by:  znegclb  9407  nn0negz  9408  peano2zm  9412  zsubcl  9415  zeo  9480  zindd  9493  znegcld  9499  uzneg  9669  qnegcl  9759  fzsubel  10184  fzosubel  10325  ceilid  10462  modqcyc2  10507  expsubap  10734  climshft  11648  negdvdsb  12151  dvdsnegb  12152  summodnegmod  12166  dvdssub  12182  odd2np1  12217  bitscmp  12302  gcdneg  12336  neggcd  12337  gcdabs  12342  bezoutlemaz  12357  bezoutlembz  12358  lcmneg  12429  neglcm  12430  lcmabs  12431  4sqexercise1  12754  4sqexercise2  12755  mulgval  13491  mulgaddcomlem  13514  mulgneg2  13525  mulgsubdir  13531  zsubrg  14376  zringmulg  14393  zringinvg  14399  sinperlem  15313  lgsneg  15534  lgsdir2lem4  15541  lgsdir2lem5  15542  ex-fl  15698