Theorem znegcl 9654

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9625	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8509	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8562	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9634	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2329	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9626	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9642	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1344	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   RRcr 8168   0cc0 8169   -ucneg 8488   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624

This theorem is referenced by:  znegclb  9656  nn0negz  9657  peano2zm  9661  zsubcl  9664  zeo  9730  zindd  9743  znegcld  9749  uzneg  9920  qnegcl  10015  fzsubel  10444  fzosubel  10590  ceilid  10730  modqcyc2  10775  expsubap  11002  climshft  12048  negdvdsb  12552  dvdsnegb  12553  summodnegmod  12567  dvdssub  12583  odd2np1  12618  bitscmp  12703  gcdneg  12737  neggcd  12738  gcdabs  12743  bezoutlemaz  12758  bezoutlembz  12759  lcmneg  12830  neglcm  12831  lcmabs  12832  4sqexercise1  13155  4sqexercise2  13156  mulgval  13902  mulgaddcomlem  13925  mulgneg2  13936  mulgsubdir  13942  zsubrg  14890  zringmulg  14905  zringinvg  14911  sinperlem  15832  lgsneg  16057  lgsdir2lem4  16064  lgsdir2lem5  16065  ex-fl  16653