Theorem znegcl 9571

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	|- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9542	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		negeq 8431	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> -u N = -u 0 )
3		neg0 8484	. . . . . 6 |- -u 0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2280	. . . . 5 |- ( N = 0 -> -u N = 0 )
5		0z 9551	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
6	4, 5	eqeltrdi 2322	. . . 4 |- ( N = 0 -> -u N e. ZZ )
7		nnnegz 9543	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
8		nnz 9559	. . . 4 |- ( -u N e. NN -> -u N e. ZZ )
9	6, 7, 8	3jaoi 1340	. . 3 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> -u N e. ZZ )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> -u N e. ZZ )
11	1, 10	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   RRcr 8091   0cc0 8092   -ucneg 8410   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541

This theorem is referenced by:  znegclb  9573  nn0negz  9574  peano2zm  9578  zsubcl  9581  zeo  9646  zindd  9659  znegcld  9665  uzneg  9836  qnegcl  9931  fzsubel  10357  fzosubel  10502  ceilid  10640  modqcyc2  10685  expsubap  10912  climshft  11944  negdvdsb  12448  dvdsnegb  12449  summodnegmod  12463  dvdssub  12479  odd2np1  12514  bitscmp  12599  gcdneg  12633  neggcd  12634  gcdabs  12639  bezoutlemaz  12654  bezoutlembz  12655  lcmneg  12726  neglcm  12727  lcmabs  12728  4sqexercise1  13051  4sqexercise2  13052  mulgval  13789  mulgaddcomlem  13812  mulgneg2  13823  mulgsubdir  13829  zsubrg  14677  zringmulg  14694  zringinvg  14700  sinperlem  15619  lgsneg  15843  lgsdir2lem4  15850  lgsdir2lem5  15851  ex-fl  16439