ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssubr Unicode version

Theorem dvdssubr 11878
Description: An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdssubr  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( N  -  M ) ) )

Proof of Theorem dvdssubr
StepHypRef Expression
1 zsubcl 9324 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 268 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
3 dvdsadd 11875 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( N  -  M
)  <->  M  ||  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
42, 3syldan 282 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( N  -  M )  <->  M 
||  ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
5 zcn 9288 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 zcn 9288 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 pncan3 8195 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
85, 6, 7syl2an 289 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
98breq2d 4030 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( M  +  ( N  -  M ) )  <->  M  ||  N
) )
104, 9bitr2d 189 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( N  -  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   CCcc 7839    + caddc 7844    - cmin 8158   ZZcz 9283    || cdvds 11826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-dvds 11827
This theorem is referenced by:  ndvdsadd  11968  4sqlem12  12434  4sqlem16  12438
  Copyright terms: Public domain W3C validator