Theorem fzctr 10540

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	|- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9588	. 2 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
2		nn0re 9572	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
3		nn0addge1 9609	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( N + N ) )
4	2, 3	mpancom 426	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( N + N ) )
5		nn0cn 9573	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6	5	2timesd 9548	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
7	4, 6	breqtrrd 4158	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( 2 x. N ) )
8		nn0z 9664	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0zd 9656	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
10		2z 9672	. . . 4 |- 2 e. ZZ
11		zmulcl 9698	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
12	10, 8, 11	sylancr 418	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
13		elfz 10417	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1278	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
15	1, 7, 14	mpbir2and 957	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-fz 10412

This theorem is used by: (None)