Theorem fzctr 10489

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	|- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9538	. 2 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
2		nn0re 9522	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
3		nn0addge1 9559	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( N + N ) )
4	2, 3	mpancom 422	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( N + N ) )
5		nn0cn 9523	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6	5	2timesd 9498	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
7	4, 6	breqtrrd 4142	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( 2 x. N ) )
8		nn0z 9614	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0zd 9606	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
10		2z 9622	. . . 4 |- 2 e. ZZ
11		zmulcl 9648	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
12	10, 8, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
13		elfz 10367	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1274	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
15	1, 7, 14	mpbir2and 953	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   <_ cle 8325   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-fz 10362

This theorem is referenced by: (None)