Theorem fzctr 9803

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	|- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 8906	. 2 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
2		nn0re 8890	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
3		nn0addge1 8927	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( N + N ) )
4	2, 3	mpancom 416	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( N + N ) )
5		nn0cn 8891	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6	5	2timesd 8866	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
7	4, 6	breqtrrd 3921	. 2 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( 2 x. N ) )
8		nn0z 8978	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0zd 8970	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
10		2z 8986	. . . 4 |- 2 e. ZZ
11		zmulcl 9011	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
12	10, 8, 11	sylancr 408	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
13		elfz 9689	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1199	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) <-> ( 0 <_ N /\ N <_ ( 2 x. N ) ) ) )
15	1, 7, 14	mpbir2and 911	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   + caddc 7550   x. cmul 7552   <_ cle 7725   2c2 8681   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ...cfz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-fz 9684

This theorem is referenced by: (None)