ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzctr Unicode version

Theorem fzctr 9940
Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )

Proof of Theorem fzctr
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 9025 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
2 nn0re 9009 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3 nn0addge1 9046 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  N ) )
42, 3mpancom 419 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( N  +  N
) )
5 nn0cn 9010 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
652timesd 8985 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
74, 6breqtrrd 3963 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( 2  x.  N
) )
8 nn0z 9097 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 0zd 9089 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
10 2z 9105 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
11 zmulcl 9130 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
1210, 8, 11sylancr 411 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
13 elfz 9826 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) )  <-> 
( 0  <_  N  /\  N  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
148, 9, 12, 13syl3anc 1217 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  <->  ( 0  <_  N  /\  N  <_  ( 2  x.  N
) ) ) )
151, 7, 14mpbir2and 929 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   0cc0 7643    + caddc 7646    x. cmul 7648    <_ cle 7824   2c2 8794   NN0cn0 9000   ZZcz 9077   ...cfz 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-fz 9821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator