ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz GIF version

Theorem elfz 10044
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz
StepHypRef Expression
1 elfz1 10043 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 3anass 984 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
32baib 920 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
41, 3sylan9bb 462 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543impa 1196 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
653comr 1213 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  cle 8023  cz 9283  ...cfz 10038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-neg 8161  df-z 9284  df-fz 10039
This theorem is referenced by:  elfz5  10047  fztri3or  10069  fzdcel  10070  fznatpl1  10106  fzdifsuc  10111  fzrev  10114  fzctr  10163  elfzo  10179  iseqf1olemqk  10525  bcval5  10775  infssuzex  11982  isprm3  12150  hashdvds  12253
  Copyright terms: Public domain W3C validator