Theorem hashdvds 13019

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdvds.1	|- ( ph -> N e. NN )
hashdvds.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
hashdvds.3	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
hashdvds.4	|- ( ph -> C e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashdvds	|- ( ph -> (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem hashdvds

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9675	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
3		eluzelz 9940	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> B e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ZZ )
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ZZ )
6	4, 5	zsubcld 9777	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - C ) e. ZZ )
7		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
8		znq 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B - C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( B - C ) / N ) e. QQ )
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - C ) / N ) e. QQ )
10	9	flqcld 10724	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
12		peano2zm 9686	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
14	13, 5	zsubcld 9777	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. ZZ )
15		znq 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ )
16	14, 7, 15	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ )
17	16	flqcld 10724	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ )
18	10, 17	zsubcld 9777	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ )
19		fzen 10457	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
21		ax-1cn 8272	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
22	17	zcnd 9773	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC )
23		addcom 8464	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
24	21, 22, 23	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
25	10	zcnd 9773	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. CC )
26	25, 22	npcand 8642	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
27	24, 26	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
28	20, 27	breqtrd 4156	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
29	17	peano2zd 9775	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
30	29, 10	fzfigd 10881	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) e. Fin )
31	11, 4	fzfigd 10881	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ... B ) e. Fin )
32		elfzelz 10438	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( A ... B ) -> a e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> a e. ZZ )
34	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> C e. ZZ )
35	33, 34	zsubcld 9777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> ( a - C ) e. ZZ )
36		dvdsdc 12581	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( a - C ) e. ZZ ) -> DECID N || ( a - C ) )
37	7, 35, 36	syl2an2r 603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> DECID N || ( a - C ) )
38	37	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( A ... B )DECID N || ( a - C ) )
39		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x - C ) = ( a - C ) )
40	39	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( a - C ) ) )
41	40	dcbid 850	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> (DECID N || ( x - C ) <-> DECID N || ( a - C ) ) )
42	41	cbvralv 2786	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( A ... B )DECID N || ( x - C ) <-> A. a e. ( A ... B )DECID N || ( a - C ) )
43	38, 42	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A ... B )DECID N || ( x - C ) )
44	31, 43	ssfirab 7244	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin )
45		oveq1 6092	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( x - C ) = ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
46	45	breq2d 4142	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) ) )
47	11	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
48	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. ZZ )
49		elfzelz 10438	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z e. ZZ )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. ZZ )
51	7	nnzd 9771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
53	50, 52	zmulcld 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. ZZ )
54	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. ZZ )
55	53, 54	zaddcld 9776	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ )
56		elfzle1 10441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
58		zltp1le 9703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
59	17, 49, 58	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
60	57, 59	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z )
61		flqlt 10731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
62	16, 49, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
63	60, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z )
64	14	zred 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
66	50	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. RR )
67	7	nnred 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
68	7	nngt0d 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < N )
69	67, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
71		ltdivmul2 9210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ z e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
72	65, 66, 70, 71	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
73	63, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) )
74	13	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. RR )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
76	5	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. RR )
78	53	zred 9772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. RR )
79	75, 77, 78	ltsubaddd 8870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
80	73, 79	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) )
81		zlem1lt 9705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
82	11, 55, 81	syl2an2r 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
83	80, 82	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A <_ ( ( z x. N ) + C ) )
84		elfzle2 10442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
86		flqge 10729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ z e. ZZ ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
87	9, 49, 86	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
88	85, 87	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( ( B - C ) / N ) )
89	6	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) e. RR )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
91		lemuldiv 9213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
92	66, 90, 70, 91	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
93	88, 92	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) <_ ( B - C ) )
94	4	zred 9772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
95	94	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. RR )
96		leaddsub 8767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z x. N ) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
97	78, 77, 95, 96	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
98	93, 97	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) <_ B )
99	47, 48, 55, 83, 98	elfzd 10429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) )
100		dvdsmul2 12597	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( z x. N ) )
101	50, 52, 100	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( z x. N ) )
102	53	zcnd 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
103	5	zcnd 9773	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. CC )
105	102, 104	pncand 8639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) = ( z x. N ) )
106	101, 105	breqtrrd 4158	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
107	46, 99, 106	elrabd 2984	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
108	107	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
109		oveq1 6092	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x - C ) = ( y - C ) )
110	109	breq2d 4142	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( y - C ) ) )
111	110	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } <-> ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) )
112	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
113	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
114		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N || ( y - C ) )
115	51	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N e. ZZ )
116	7	nnne0d 9351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N =/= 0 )
118		elfzelz 10438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A ... B ) -> y e. ZZ )
119	118	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. ZZ )
120	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. ZZ )
121	119, 120	zsubcld 9777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. ZZ )
122		dvdsval2 12573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( y - C ) e. ZZ ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
123	115, 117, 121, 122	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
124	114, 123	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ )
125	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
126	119	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. RR )
127	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. RR )
128		elfzle1 10441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A ... B ) -> A <_ y )
129	128	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> A <_ y )
130		zlem1lt 9705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
131	11, 119, 130	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
132	129, 131	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) < y )
133	125, 126, 127, 132	ltsub1dd 8886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) )
134	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
135	121	zred 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. RR )
136	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
137		ltdiv1 9200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( y - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
138	134, 135, 136, 137	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
139	133, 138	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) )
140		flqlt 10731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
141	16, 124, 140	syl2an2r 603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
142	139, 141	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) )
143		zltp1le 9703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
144	17, 124, 143	syl2an2r 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
145	142, 144	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) )
146	94	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> B e. RR )
147		elfzle2 10442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A ... B ) -> y <_ B )
148	147	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y <_ B )
149	126, 146, 127, 148	lesub1dd 8890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) <_ ( B - C ) )
150	89	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
151		lediv1 9201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
152	135, 150, 136, 151	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
153	149, 152	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
154		flqge 10729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
155	9, 124, 154	syl2an2r 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
156	153, 155	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
157	112, 113, 124, 145, 156	elfzd 10429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
158	157	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
159	111, 158	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
160	111	anbi2i 461	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) )
161	121	zcnd 9773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
162	161	adantrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
163	50	zcnd 9773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. CC )
164	163	adantrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> z e. CC )
165	7	nncnd 9320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
166	165	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N e. CC )
167	7	nnap0d 9352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N # 0 )
168	167	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N # 0 )
169	162, 164, 166, 168	divmulap3d 9157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( y - C ) = ( z x. N ) ) )
170	119	zcnd 9773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. CC )
171	170	adantrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> y e. CC )
172	103	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> C e. CC )
173	102	adantrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
174	171, 172, 173	subadd2d 8657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( y - C ) = ( z x. N ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
175	169, 174	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
176		eqcom 2240	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) = z )
177		eqcom 2240	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z x. N ) + C ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y )
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
179	160, 178	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
180	179	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) ) )
181	30, 44, 108, 159, 180	en3d 7055	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
182		entr 7071	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
183	28, 181, 182	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
184	1, 18	fzfigd 10881	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin )
185		hashen 11237	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin /\ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
186	184, 44, 185	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
187	183, 186	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
188		eluzle 9943	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> ( A - 1 ) <_ B )
189	2, 188	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A - 1 ) <_ B )
190		zre 9652	. . . . . . . 8 |- ( ( A - 1 ) e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
191		zre 9652	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
192		zre 9652	. . . . . . . 8 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
193		lesub1 8785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
194	190, 191, 192, 193	syl3an 1320	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
195	13, 4, 5, 194	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
196	189, 195	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) )
197		lediv1 9201	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
198	64, 89, 69, 197	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
199	196, 198	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
200		flqword2 10737	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
201	16, 9, 199, 200	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
202		uznn0sub 9963	. . 3 |- ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 )
203		hashfz1 11236	. . 3 |- ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
204	201, 202, 203	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
205	187, 204	eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8498   # cap 8911   / cdiv 9004   NNcn 9306   NN0cn0 9567   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930   QQcq 10028   ...cfz 10421   |_cfl 10713  ♯chash 11228   || cdvds 12570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fl 10715  df-mod 10773  df-ihash 11229  df-dvds 12571

This theorem is used by:  phiprmpw  13020  ppiqub  16194