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Description: Write out the top and
bottom parts of the binomial coefficient
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bcval5 |
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1 | bcval2 10771 |
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2 | 1 | adantl 277 |
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3 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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4 | simprr 531 |
. . . . . . . . 9
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5 | 3, 4 | mulcld 8013 |
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6 | simpr1 1005 |
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7 | simpr2 1006 |
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8 | simpr3 1007 |
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9 | 6, 7, 8 | mulassd 8016 |
. . . . . . . 8
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10 | simpll 527 |
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11 | 10 | nn0zd 9408 |
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12 | simplr 528 |
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13 | 12 | nnzd 9409 |
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14 | 11, 13 | zsubcld 9415 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | peano2zd 9413 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 1red 8007 |
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17 | 12 | nnred 8967 |
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18 | 10 | nn0red 9265 |
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19 | 12 | nnge1d 8997 |
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20 | 16, 17, 18, 19 | lesub2dd 8554 |
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21 | 14 | zred 9410 |
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22 | leaddsub 8430 |
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23 | 21, 16, 18, 22 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 20, 23 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . 10
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25 | eluz2 9569 |
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26 | 15, 11, 24, 25 | syl3anbrc 1183 |
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27 | 26 | adantrr 479 |
. . . . . . . 8
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28 | simprr 531 |
. . . . . . . . 9
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29 | nnuz 9599 |
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30 | 28, 29 | eleqtrdi 2282 |
. . . . . . . 8
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31 | fvi 5597 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | elv 2756 |
. . . . . . . . 9
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33 | eluzelcn 9574 |
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34 | 33 | adantl 277 |
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35 | 32, 34 | eqeltrid 2276 |
. . . . . . . 8
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36 | 5, 9, 27, 30, 35 | seq3split 10518 |
. . . . . . 7
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37 | elfzuz3 10058 |
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38 | 37 | adantl 277 |
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39 | eluznn 9636 |
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40 | 12, 38, 39 | syl2anc 411 |
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41 | 40 | adantrr 479 |
. . . . . . . 8
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42 | facnn 10748 |
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43 | 41, 42 | syl 14 |
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44 | facnn 10748 |
. . . . . . . . 9
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45 | 28, 44 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | oveq1d 5915 |
. . . . . . 7
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47 | 36, 43, 46 | 3eqtr4d 2232 |
. . . . . 6
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48 | 47 | expr 375 |
. . . . 5
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49 | 10 | faccld 10757 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | nncnd 8968 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | mulid2d 8011 |
. . . . . . 7
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52 | 40, 42 | syl 14 |
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66 | fznn0sub 10093 |
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68 | elnn0 9213 |
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69 | 67, 68 | sylib 122 |
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71 | 70 | oveq1d 5915 |
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72 | eqid 2189 |
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73 | fvi 5597 |
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74 | 73 | elv 2756 |
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75 | eluzelcn 9574 |
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77 | 74, 76 | eqeltrid 2276 |
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78 | mulcl 7973 |
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79 | 78 | adantl 277 |
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80 | 72, 15, 77, 79 | seqf 10500 |
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81 | 80, 26 | ffvelcdmd 5676 |
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103 | 102 | mul02d 8384 |
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104 | 102 | mul01d 8385 |
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105 | simpr 110 |
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106 | nn0uz 9598 |
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107 | 92, 106 | eleqtrdi 2282 |
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108 | simpll 527 |
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109 | 108 | nn0zd 9408 |
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110 | elfz5 10053 |
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111 | 107, 109, 110 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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112 | nn0re 9220 |
. . . . . . . . . . . 12
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113 | 112 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
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114 | nnre 8961 |
. . . . . . . . . . . 12
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115 | 114 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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116 | 113, 115 | subge0d 8527 |
. . . . . . . . . 10
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117 | 111, 116 | bitr4d 191 |
. . . . . . . . 9
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118 | 105, 117 | mtbid 673 |
. . . . . . . 8
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119 | simpl 109 |
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120 | 119 | nn0zd 9408 |
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121 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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122 | 121 | nnzd 9409 |
. . . . . . . . . . 11
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123 | 120, 122 | zsubcld 9415 |
. . . . . . . . . 10
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124 | 123 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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125 | 0z 9299 |
. . . . . . . . 9
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126 | zltnle 9334 |
. . . . . . . . 9
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127 | 124, 125, 126 | sylancl 413 |
. . . . . . . 8
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128 | 118, 127 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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129 | zltp1le 9342 |
. . . . . . . 8
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130 | 124, 125, 129 | sylancl 413 |
. . . . . . 7
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131 | 128, 130 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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132 | nn0ge0 9236 |
. . . . . . 7
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133 | 132 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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134 | 0zd 9300 |
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135 | 124 | peano2zd 9413 |
. . . . . . 7
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136 | elfz 10050 |
. . . . . . 7
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137 | 134, 135, 109, 136 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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138 | 131, 133, 137 | mpbir2and 946 |
. . . . 5
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139 | 0cn 7984 |
. . . . . 6
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140 | fvi 5597 |
. . . . . 6
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141 | 139, 140 | mp1i 10 |
. . . . 5
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142 | 98, 101, 103, 104, 138, 141 | seq3z 10550 |
. . . 4
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143 | 142 | oveq1d 5915 |
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144 | nnz 9307 |
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145 | bcval3 10772 |
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146 | 144, 145 | syl3an2 1283 |
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147 | 146 | 3expa 1205 |
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148 | 96, 143, 147 | 3eqtr4rd 2233 |
. 2
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149 | 0zd 9300 |
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150 | fzdcel 10076 |
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151 | 122, 149, 120, 150 | syl3anc 1249 |
. . 3
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152 | exmiddc 837 |
. . 3
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153 | 151, 152 | syl 14 |
. 2
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154 | 90, 148, 153 | mpjaodan 799 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4136 ax-sep 4139 ax-nul 4147 ax-pow 4195 ax-pr 4230 ax-un 4454 ax-setind 4557 ax-iinf 4608 ax-cnex 7937 ax-resscn 7938 ax-1cn 7939 ax-1re 7940 ax-icn 7941 ax-addcl 7942 ax-addrcl 7943 ax-mulcl 7944 ax-mulrcl 7945 ax-addcom 7946 ax-mulcom 7947 ax-addass 7948 ax-mulass 7949 ax-distr 7950 ax-i2m1 7951 ax-0lt1 7952 ax-1rid 7953 ax-0id 7954 ax-rnegex 7955 ax-precex 7956 ax-cnre 7957 ax-pre-ltirr 7958 ax-pre-ltwlin 7959 ax-pre-lttrn 7960 ax-pre-apti 7961 ax-pre-ltadd 7962 ax-pre-mulgt0 7963 ax-pre-mulext 7964 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3595 df-sn 3616 df-pr 3617 df-op 3619 df-uni 3828 df-int 3863 df-iun 3906 df-br 4022 df-opab 4083 df-mpt 4084 df-tr 4120 df-id 4314 df-po 4317 df-iso 4318 df-iord 4387 df-on 4389 df-ilim 4390 df-suc 4392 df-iom 4611 df-xp 4653 df-rel 4654 df-cnv 4655 df-co 4656 df-dm 4657 df-rn 4658 df-res 4659 df-ima 4660 df-iota 5199 df-fun 5240 df-fn 5241 df-f 5242 df-f1 5243 df-fo 5244 df-f1o 5245 df-fv 5246 df-riota 5855 df-ov 5903 df-oprab 5904 df-mpo 5905 df-1st 6169 df-2nd 6170 df-recs 6334 df-frec 6420 df-pnf 8029 df-mnf 8030 df-xr 8031 df-ltxr 8032 df-le 8033 df-sub 8165 df-neg 8166 df-reap 8567 df-ap 8574 df-div 8665 df-inn 8955 df-n0 9212 df-z 9289 df-uz 9564 df-q 9656 df-fz 10045 df-seqfrec 10485 df-fac 10747 df-bc 10769 |
This theorem is referenced by: bcn2 10785 |
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