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Description: Write out the top and
bottom parts of the binomial coefficient
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bcval5 |
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1 | bcval2 10337 |
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2 | 1 | adantl 273 |
. . 3
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3 | simprl 501 |
. . . . . . . . 9
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4 | simprr 502 |
. . . . . . . . 9
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5 | 3, 4 | mulcld 7658 |
. . . . . . . 8
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6 | simpr1 955 |
. . . . . . . . 9
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7 | simpr2 956 |
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8 | simpr3 957 |
. . . . . . . . 9
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9 | 6, 7, 8 | mulassd 7661 |
. . . . . . . 8
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10 | simpll 499 |
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11 | 10 | nn0zd 9023 |
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12 | simplr 500 |
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13 | 12 | nnzd 9024 |
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14 | 11, 13 | zsubcld 9030 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | peano2zd 9028 |
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16 | 1red 7653 |
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17 | 12 | nnred 8591 |
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18 | 10 | nn0red 8883 |
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19 | 12 | nnge1d 8621 |
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20 | 16, 17, 18, 19 | lesub2dd 8190 |
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21 | 14 | zred 9025 |
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22 | leaddsub 8067 |
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23 | 21, 16, 18, 22 | syl3anc 1184 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 20, 23 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . 10
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25 | eluz2 9182 |
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26 | 15, 11, 24, 25 | syl3anbrc 1133 |
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27 | 26 | adantrr 466 |
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28 | simprr 502 |
. . . . . . . . 9
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29 | nnuz 9211 |
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30 | 28, 29 | syl6eleq 2192 |
. . . . . . . 8
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31 | fvi 5410 |
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32 | 31 | elv 2645 |
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33 | eluzelcn 9187 |
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34 | 33 | adantl 273 |
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35 | 32, 34 | syl5eqel 2186 |
. . . . . . . 8
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36 | 5, 9, 27, 30, 35 | seq3split 10093 |
. . . . . . 7
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37 | elfzuz3 9644 |
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38 | 37 | adantl 273 |
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39 | eluznn 9244 |
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40 | 12, 38, 39 | syl2anc 406 |
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41 | 40 | adantrr 466 |
. . . . . . . 8
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42 | facnn 10314 |
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43 | 41, 42 | syl 14 |
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44 | facnn 10314 |
. . . . . . . . 9
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45 | 28, 44 | syl 14 |
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46 | 45 | oveq1d 5721 |
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47 | 36, 43, 46 | 3eqtr4d 2142 |
. . . . . 6
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48 | 47 | expr 370 |
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49 | 10 | faccld 10323 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | nncnd 8592 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | mulid2d 7656 |
. . . . . . 7
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52 | 40, 42 | syl 14 |
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54 | 51, 53 | eqtr3d 2134 |
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56 | fac0 10315 |
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59 | 0p1e1 8692 |
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64 | 63 | eqeq2d 2111 |
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65 | 54, 64 | syl5ibrcom 156 |
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66 | fznn0sub 9678 |
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68 | elnn0 8831 |
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69 | 67, 68 | sylib 121 |
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70 | 48, 65, 69 | mpjaod 679 |
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71 | 70 | oveq1d 5721 |
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72 | eqid 2100 |
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73 | fvi 5410 |
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74 | 73 | elv 2645 |
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75 | eluzelcn 9187 |
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76 | 75 | adantl 273 |
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77 | 74, 76 | syl5eqel 2186 |
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78 | mulcl 7619 |
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79 | 78 | adantl 273 |
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80 | 72, 15, 77, 79 | seqf 10075 |
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81 | 80, 26 | ffvelrnd 5488 |
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89 | 81, 84, 86, 87, 88 | divcanap5d 8438 |
. . 3
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90 | 2, 71, 89 | 3eqtrd 2136 |
. 2
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91 | simplr 500 |
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96 | 94, 95 | div0apd 8408 |
. . 3
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99 | eluzelcn 9187 |
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101 | 32, 100 | syl5eqel 2186 |
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103 | 102 | mul02d 8021 |
. . . . 5
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104 | 102 | mul01d 8022 |
. . . . 5
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105 | simpr 109 |
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106 | nn0uz 9210 |
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107 | 92, 106 | syl6eleq 2192 |
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108 | simpll 499 |
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109 | 108 | nn0zd 9023 |
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110 | elfz5 9639 |
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111 | 107, 109, 110 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . . 10
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112 | nn0re 8838 |
. . . . . . . . . . . 12
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113 | 112 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . . . 11
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114 | nnre 8585 |
. . . . . . . . . . . 12
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115 | 114 | ad2antlr 476 |
. . . . . . . . . . 11
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116 | 113, 115 | subge0d 8163 |
. . . . . . . . . 10
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117 | 111, 116 | bitr4d 190 |
. . . . . . . . 9
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118 | 105, 117 | mtbid 638 |
. . . . . . . 8
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119 | simpl 108 |
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120 | 119 | nn0zd 9023 |
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121 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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122 | 121 | nnzd 9024 |
. . . . . . . . . . 11
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123 | 120, 122 | zsubcld 9030 |
. . . . . . . . . 10
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124 | 123 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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125 | 0z 8917 |
. . . . . . . . 9
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126 | zltnle 8952 |
. . . . . . . . 9
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127 | 124, 125, 126 | sylancl 407 |
. . . . . . . 8
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128 | 118, 127 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
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129 | zltp1le 8960 |
. . . . . . . 8
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130 | 124, 125, 129 | sylancl 407 |
. . . . . . 7
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131 | 128, 130 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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132 | nn0ge0 8854 |
. . . . . . 7
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133 | 132 | ad2antrr 475 |
. . . . . 6
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134 | 0zd 8918 |
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135 | 124 | peano2zd 9028 |
. . . . . . 7
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136 | elfz 9637 |
. . . . . . 7
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137 | 134, 135, 109, 136 | syl3anc 1184 |
. . . . . 6
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138 | 131, 133, 137 | mpbir2and 896 |
. . . . 5
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139 | 0cn 7630 |
. . . . . 6
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140 | fvi 5410 |
. . . . . 6
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141 | 139, 140 | mp1i 10 |
. . . . 5
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142 | 98, 101, 103, 104, 138, 141 | seq3z 10125 |
. . . 4
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143 | 142 | oveq1d 5721 |
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144 | nnz 8925 |
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145 | bcval3 10338 |
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146 | 144, 145 | syl3an2 1218 |
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147 | 146 | 3expa 1149 |
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148 | 96, 143, 147 | 3eqtr4rd 2143 |
. 2
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149 | 0zd 8918 |
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150 | fzdcel 9661 |
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151 | 122, 149, 120, 150 | syl3anc 1184 |
. . 3
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152 | exmiddc 788 |
. . 3
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153 | 151, 152 | syl 14 |
. 2
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154 | 90, 148, 153 | mpjaodan 753 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-q 9262 df-fz 9632 df-seqfrec 10060 df-fac 10313 df-bc 10335 |
This theorem is referenced by: bcn2 10351 |
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