Theorem bcval5 11150

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient ( N _C K ) = ( N x. ( N - 1 ) x. ... x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / K ! explicitly. In this form, it is valid even for N < K, although it is no longer valid for nonpositive K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables x k y f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 11137	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
3		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> k e. CC )
4		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> x e. CC )
5	3, 4	mulcld 8310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
6		simpr1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> k e. CC )
7		simpr2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> x e. CC )
8		simpr3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> y e. CC )
9	6, 7, 8	mulassd 8313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( k x. x ) x. y ) = ( k x. ( x x. y ) ) )
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
12		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN )
13	12	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
14	11, 13	zsubcld 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
15	14	peano2zd 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
16		1red 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. RR )
17	12	nnred 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
18	10	nn0red 9571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
19	12	nnge1d 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 <_ K )
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) )
21	14	zred 9718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. RR )
22		leaddsub 8729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - K ) e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ N <-> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) ) )
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ N <-> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) ) )
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N )
25		eluz2 9877	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
27	26	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. NN )
29		nnuz 9908	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	28, 29	eleqtrdi 2327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		fvi 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. _V -> ( _I ` k ) = k )
32	31	elv 2819	. . . . . . . . 9 |- ( _I ` k ) = k
33		eluzelcn 9883	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. CC )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. CC )
35	32, 34	eqeltrid 2321	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10874	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
37		elfzuz3 10375	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
39		eluznn 9950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN )
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN )
41	40	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. NN )
42		facnn 11114	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
44		facnn 11114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
46	45	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
48	47	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
49	10	faccld 11123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
50	49	nncnd 9268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
51	50	mullidd 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
53	52	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
54	51, 53	eqtr3d 2269	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
55		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( ! ` 0 ) )
56		fac0 11115	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 0 ) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = 1 )
58		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
59		0p1e1 9368	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = 1 )
61	60	seqeq1d 10839	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) = seq 1 ( x. , _I ) )
62	61	fveq1d 5677	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
63	57, 62	oveq12d 6076	. . . . . . 7 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
64	63	eqeq2d 2246	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) <-> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
66		fznn0sub 10412	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
67	66	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
68		elnn0 9515	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) e. NN0 <-> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
70	48, 65, 69	mpjaod 726	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
71	70	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
72		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) )
73		fvi 5739	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> ( _I ` f ) = f )
74	73	elv 2819	. . . . . . 7 |- ( _I ` f ) = f
75		eluzelcn 9883	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> f e. CC )
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> f e. CC )
77	74, 76	eqeltrid 2321	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
78		mulcl 8270	. . . . . . 7 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
79	78	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
80	72, 15, 77, 79	seqf 10850	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) --> CC )
81	80, 26	ffvelcdmd 5818	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) e. CC )
82	12	nnnn0d 9570	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
83	82	faccld 11123	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
84	83	nncnd 9268	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
85	67	faccld 11123	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
86	85	nncnd 9268	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
87	83	nnap0d 9300	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) # 0 )
88	85	nnap0d 9300	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) # 0 )
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 9108	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
90	2, 71, 89	3eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
91		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN )
92	91	nnnn0d 9570	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
93	92	faccld 11123	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
94	93	nncnd 9268	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
95	93	nnap0d 9300	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) # 0 )
96	94, 95	div0apd 9078	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 / ( ! ` K ) ) = 0 )
97		mulcl 8270	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
98	97	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
99		eluzelcn 9883	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> k e. CC )
100	99	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> k e. CC )
101	32, 100	eqeltrid 2321	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
102		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> k e. CC )
103	102	mul02d 8682	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
104	102	mul01d 8683	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
106		nn0uz 9907	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
107	92, 106	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
108		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
109	108	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
110		elfz5 10370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
112		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
114		nnre 9261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> K e. RR )
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
116	113, 115	subge0d 8826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( N - K ) <-> K <_ N ) )
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> 0 <_ ( N - K ) ) )
118	105, 117	mtbid 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. 0 <_ ( N - K ) )
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> N e. NN0 )
120	119	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> N e. ZZ )
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> K e. NN )
122	121	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
123	120, 122	zsubcld 9723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N - K ) e. ZZ )
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
125		0z 9605	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
126		zltnle 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < 0 )
129		zltp1le 9649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
130	124, 125, 129	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 )
132		nn0ge0 9538	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
133	132	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ N )
134		0zd 9606	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
135	124	peano2zd 9721	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
136		elfz 10367	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
138	131, 133, 137	mpbir2and 953	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
139		0cn 8282	. . . . . 6 |- 0 e. CC
140		fvi 5739	. . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( _I ` 0 ) = 0 )
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10914	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = 0 )
143	142	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) = ( 0 / ( ! ` K ) ) )
144		nnz 9613	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
145		bcval3 11138	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
146	144, 145	syl3an2 1308	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
147	146	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2278	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
149		0zd 9606	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> 0 e. ZZ )
150		fzdcel 10394	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... N ) )
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> DECID K e. ( 0 ... N ) )
152		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID K e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) \/ -. K e. ( 0 ... N ) ) )
153	151, 152	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... N ) \/ -. K e. ( 0 ... N ) ) )
154	90, 148, 153	mpjaodan 806	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   _I cid 4414   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833   !cfa 11112   _C cbc 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-fac 11113  df-bc 11135

This theorem is referenced by:  bcn2  11151