bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcval5 10985

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient

explicitly. In this form, it is valid even for

, although it is no longer valid for nonpositive

. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	$/\$

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10972	. . . 4
2	1	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
3		simprl 529	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simprr 531	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simpr1 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr2 1028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		simpr3 1029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	6, 7, 8	mulassd 8170	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
11	10	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
13	12	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
14	11, 13	zsubcld 9574	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
15	14	peano2zd 9572	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
16		1red 8161	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
17	12	nnred 9123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
18	10	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
19	12	nnge1d 9153	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8709	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
21	14	zred 9569	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
22		leaddsub 8585	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
25		eluz2 9728	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
27	26	adantrr 479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
28		simprr 531	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29		nnuz 9758	. . . . . . . . 9
30	28, 29	eleqtrdi 2322	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31		fvi 5691	. . . . . . . . . 10
32	31	elv 2803	. . . . . . . . 9
33		eluzelcn 9733	. . . . . . . . . 10
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	eqeltrid 2316	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10710	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
37		elfzuz3 10218	. . . . . . . . . . 11
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		eluznn 9795	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
41	40	adantrr 479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		facnn 10949	. . . . . . . 8
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44		facnn 10949	. . . . . . . . 9
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	oveq1d 6016	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	expr 375	. . . . 5 $/\$ $/\$
49	10	faccld 10958	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50	49	nncnd 9124	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	mulid2d 8165	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6017	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$
55		fveq2 5627	. . . . . . . . 9
56		fac0 10950	. . . . . . . . 9
57	55, 56	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8
58		oveq1 6008	. . . . . . . . . . 11
59		0p1e1 9224	. . . . . . . . . . 11
60	58, 59	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10
61	60	seqeq1d 10675	. . . . . . . . 9
62	61	fveq1d 5629	. . . . . . . 8
63	57, 62	oveq12d 6019	. . . . . . 7
64	63	eqeq2d 2241	. . . . . 6
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 $/\$ $/\$
66		fznn0sub 10253	. . . . . . 7
67	66	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
68		elnn0 9371	. . . . . 6 $\/$
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
70	48, 65, 69	mpjaod 723	. . . 4 $/\$ $/\$
71	70	oveq1d 6016	. . 3 $/\$ $/\$
72		eqid 2229	. . . . . 6
73		fvi 5691	. . . . . . . 8
74	73	elv 2803	. . . . . . 7
75		eluzelcn 9733	. . . . . . . 8
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
77	74, 76	eqeltrid 2316	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
78		mulcl 8126	. . . . . . 7 $/\$
79	78	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	72, 15, 77, 79	seqf 10686	. . . . 5 $/\$ $/\$
81	80, 26	ffvelcdmd 5771	. . . 4 $/\$ $/\$
82	12	nnnn0d 9422	. . . . . 6 $/\$ $/\$
83	82	faccld 10958	. . . . 5 $/\$ $/\$
84	83	nncnd 9124	. . . 4 $/\$ $/\$
85	67	faccld 10958	. . . . 5 $/\$ $/\$
86	85	nncnd 9124	. . . 4 $/\$ $/\$
87	83	nnap0d 9156	. . . 4 $/\$ $/\$ #
88	85	nnap0d 9156	. . . 4 $/\$ $/\$ #
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 8964	. . 3 $/\$ $/\$
90	2, 71, 89	3eqtrd 2266	. 2 $/\$ $/\$
91		simplr 528	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
92	91	nnnn0d 9422	. . . . . 6 $/\$ $/\$
93	92	faccld 10958	. . . . 5 $/\$ $/\$
94	93	nncnd 9124	. . . 4 $/\$ $/\$
95	93	nnap0d 9156	. . . 4 $/\$ $/\$ #
96	94, 95	div0apd 8934	. . 3 $/\$ $/\$
97		mulcl 8126	. . . . . 6 $/\$
98	97	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		eluzelcn 9733	. . . . . . 7
100	99	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
101	32, 100	eqeltrid 2316	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	mul02d 8538	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
104	102	mul01d 8539	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106		nn0uz 9757	. . . . . . . . . . . 12
107	92, 106	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
108		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
109	108	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110		elfz5 10213	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
112		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . 12
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114		nnre 9117	. . . . . . . . . . . 12
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	113, 115	subge0d 8682	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	105, 117	mtbid 676	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	119	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . 11 $/\$
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122	121	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11 $/\$
123	120, 122	zsubcld 9574	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
125		0z 9457	. . . . . . . . 9
126		zltnle 9492	. . . . . . . . 9 $/\$
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
129		zltp1le 9501	. . . . . . . 8 $/\$
130	124, 125, 129	sylancl 413	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$
132		nn0ge0 9394	. . . . . . 7
133	132	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$
134		0zd 9458	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
135	124	peano2zd 9572	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
136		elfz 10210	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
138	131, 133, 137	mpbir2and 950	. . . . 5 $/\$ $/\$
139		0cn 8138	. . . . . 6
140		fvi 5691	. . . . . 6
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 $/\$ $/\$
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10750	. . . 4 $/\$ $/\$
143	142	oveq1d 6016	. . 3 $/\$ $/\$
144		nnz 9465	. . . . 5
145		bcval3 10973	. . . . 5 $/\$ $/\$
146	144, 145	syl3an2 1305	. . . 4 $/\$ $/\$
147	146	3expa 1227	. . 3 $/\$ $/\$
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2273	. 2 $/\$ $/\$
149		0zd 9458	. . . 4 $/\$
150		fzdcel 10236	. . . 4 $/\$ $/\$ DECID
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ DECID
152		exmiddc 841	. . 3 DECID $\/$
153	151, 152	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
154	90, 148, 153	mpjaodan 803	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cvv 2799 class class class wbr 4083

cid 4379

cfv 5318 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

clt 8181

cle 8182

cmin 8317

cdiv 8819

cn 9110

cn0 9369

cz 9446

cuz 9722

cfz 10204

cseq 10669

cfa 10947

cbc 10969

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-fz 10205 df-seqfrec 10670 df-fac 10948 df-bc 10970

This theorem is referenced by: bcn2 10986

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