Theorem bcval5 10350

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient ( N _C K ) = ( N x. ( N - 1 ) x. ... x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / K ! explicitly. In this form, it is valid even for N < K, although it is no longer valid for nonpositive K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables x k y f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10337	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
2	1	adantl 273	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
3		simprl 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> k e. CC )
4		simprr 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> x e. CC )
5	3, 4	mulcld 7658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
6		simpr1 955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> k e. CC )
7		simpr2 956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> x e. CC )
8		simpr3 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> y e. CC )
9	6, 7, 8	mulassd 7661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( k x. x ) x. y ) = ( k x. ( x x. y ) ) )
10		simpll 499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0zd 9023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
12		simplr 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN )
13	12	nnzd 9024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
14	11, 13	zsubcld 9030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
15	14	peano2zd 9028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
16		1red 7653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. RR )
17	12	nnred 8591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
18	10	nn0red 8883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
19	12	nnge1d 8621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 <_ K )
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) )
21	14	zred 9025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. RR )
22		leaddsub 8067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - K ) e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ N <-> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) ) )
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ N <-> ( N - K ) <_ ( N - 1 ) ) )
24	20, 23	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N )
25		eluz2 9182	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
27	26	adantrr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28		simprr 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. NN )
29		nnuz 9211	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	28, 29	syl6eleq 2192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		fvi 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. _V -> ( _I ` k ) = k )
32	31	elv 2645	. . . . . . . . 9 |- ( _I ` k ) = k
33		eluzelcn 9187	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. CC )
34	33	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. CC )
35	32, 34	syl5eqel 2186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10093	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
37		elfzuz3 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
38	37	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
39		eluznn 9244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN )
40	12, 38, 39	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN )
41	40	adantrr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. NN )
42		facnn 10314	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
44		facnn 10314	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
46	45	oveq1d 5721	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2142	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
48	47	expr 370	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
49	10	faccld 10323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
50	49	nncnd 8592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
51	50	mulid2d 7656	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
53	52	oveq2d 5722	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
54	51, 53	eqtr3d 2134	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
55		fveq2 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( ! ` 0 ) )
56		fac0 10315	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 0 ) = 1
57	55, 56	syl6eq 2148	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = 1 )
58		oveq1 5713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
59		0p1e1 8692	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	58, 59	syl6eq 2148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = 1 )
61	60	seqeq1d 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) = seq 1 ( x. , _I ) )
62	61	fveq1d 5355	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
63	57, 62	oveq12d 5724	. . . . . . 7 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
64	63	eqeq2d 2111	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) <-> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
65	54, 64	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
66		fznn0sub 9678	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
67	66	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
68		elnn0 8831	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) e. NN0 <-> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
69	67, 68	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
70	48, 65, 69	mpjaod 679	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
71	70	oveq1d 5721	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
72		eqid 2100	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) )
73		fvi 5410	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> ( _I ` f ) = f )
74	73	elv 2645	. . . . . . 7 |- ( _I ` f ) = f
75		eluzelcn 9187	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> f e. CC )
76	75	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> f e. CC )
77	74, 76	syl5eqel 2186	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
78		mulcl 7619	. . . . . . 7 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
79	78	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
80	72, 15, 77, 79	seqf 10075	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) --> CC )
81	80, 26	ffvelrnd 5488	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) e. CC )
82	12	nnnn0d 8882	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
83	82	faccld 10323	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
84	83	nncnd 8592	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
85	67	faccld 10323	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
86	85	nncnd 8592	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
87	83	nnap0d 8624	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) # 0 )
88	85	nnap0d 8624	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) # 0 )
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 8438	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
90	2, 71, 89	3eqtrd 2136	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
91		simplr 500	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN )
92	91	nnnn0d 8882	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
93	92	faccld 10323	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
94	93	nncnd 8592	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
95	93	nnap0d 8624	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) # 0 )
96	94, 95	div0apd 8408	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 / ( ! ` K ) ) = 0 )
97		mulcl 7619	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
98	97	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
99		eluzelcn 9187	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> k e. CC )
100	99	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> k e. CC )
101	32, 100	syl5eqel 2186	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
102		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> k e. CC )
103	102	mul02d 8021	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
104	102	mul01d 8022	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
105		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
106		nn0uz 9210	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
107	92, 106	syl6eleq 2192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
108		simpll 499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
109	108	nn0zd 9023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
110		elfz5 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
111	107, 109, 110	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
112		nn0re 8838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
113	112	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
114		nnre 8585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> K e. RR )
115	114	ad2antlr 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
116	113, 115	subge0d 8163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( N - K ) <-> K <_ N ) )
117	111, 116	bitr4d 190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> 0 <_ ( N - K ) ) )
118	105, 117	mtbid 638	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. 0 <_ ( N - K ) )
119		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> N e. NN0 )
120	119	nn0zd 9023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> N e. ZZ )
121		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> K e. NN )
122	121	nnzd 9024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
123	120, 122	zsubcld 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N - K ) e. ZZ )
124	123	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
125		0z 8917	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
126		zltnle 8952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
127	124, 125, 126	sylancl 407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
128	118, 127	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < 0 )
129		zltp1le 8960	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
130	124, 125, 129	sylancl 407	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
131	128, 130	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 )
132		nn0ge0 8854	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
133	132	ad2antrr 475	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ N )
134		0zd 8918	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
135	124	peano2zd 9028	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
136		elfz 9637	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
138	131, 133, 137	mpbir2and 896	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
139		0cn 7630	. . . . . 6 |- 0 e. CC
140		fvi 5410	. . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( _I ` 0 ) = 0 )
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10125	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = 0 )
143	142	oveq1d 5721	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) = ( 0 / ( ! ` K ) ) )
144		nnz 8925	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
145		bcval3 10338	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
146	144, 145	syl3an2 1218	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
147	146	3expa 1149	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2143	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
149		0zd 8918	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> 0 e. ZZ )
150		fzdcel 9661	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... N ) )
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> DECID K e. ( 0 ... N ) )
152		exmiddc 788	. . 3 |- (DECID K e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) \/ -. K e. ( 0 ... N ) ) )
153	151, 152	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... N ) \/ -. K e. ( 0 ... N ) ) )
154	90, 148, 153	mpjaodan 753	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670  DECID wdc 786   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   class class class wbr 3875   _I cid 4148   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501   + caddc 7503   x. cmul 7505   < clt 7672   <_ cle 7673   - cmin 7804   / cdiv 8293   NNcn 8578   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   ...cfz 9631   seqcseq 10059   !cfa 10312   _C cbc 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-fz 9632  df-seqfrec 10060  df-fac 10313  df-bc 10335

This theorem is referenced by:  bcn2  10351