Theorem fznatpl1 10373

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
2		elfzelz 10322	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ZZ )
3	2	zred 9663	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. RR )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I e. RR )
5		peano2re 8374	. . . 4 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
7		peano2re 8374	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> ( 1 + 1 ) e. RR )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) e. RR )
9	1	ltp1d 9169	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( 1 + 1 ) )
10		elfzle1 10324	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 <_ I )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ I )
12		1re 8238	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
13		leadd1 8669	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ I e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
14	12, 12, 13	mp3an13 1365	. . . . . 6 |- ( I e. RR -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) )
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 8662	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( I + 1 ) )
18	1, 6, 17	ltled 8357	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( I + 1 ) )
19		elfzle2 10325	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
21		nnz 9559	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9663	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
24		leaddsub 8677	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
25	12, 24	mp3an2 1362	. . . 4 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
26	4, 23, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
27	20, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ N )
28	2	peano2zd 9666	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
30		1z 9566	. . . 4 |- 1 e. ZZ
31		elfz 10311	. . . 4 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
32	30, 31	mp3an2 1362	. . 3 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
33	29, 22, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
34	18, 27, 33	mpbir2and 953	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   - cmin 8409   NNcn 9202   ZZcz 9540   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by: (None)