ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 Unicode version

Theorem fznatpl1 9863
Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 7788 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
2 elfzelz 9813 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ZZ )
32zred 9180 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  RR )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
5 peano2re 7905 . . . 4  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  RR )
7 peano2re 7905 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  +  1 )  e.  RR )
81, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  +  1 )  e.  RR )
91ltp1d 8695 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <  (
1  +  1 ) )
10 elfzle1 9814 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  I )
1110adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  I
)
12 1re 7772 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 leadd1 8199 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  <_  I  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( I  +  1 ) ) )
1412, 12, 13mp3an13 1306 . . . . . 6  |-  ( I  e.  RR  ->  (
1  <_  I  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( I  +  1 ) ) )
154, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  <_  I 
<->  ( 1  +  1 )  <_  ( I  +  1 ) ) )
1611, 15mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_  (
I  +  1 ) )
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 8192 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <  (
I  +  1 ) )
181, 6, 17ltled 7888 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  (
I  +  1 ) )
19 elfzle2 9815 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
21 nnz 9080 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2221adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
2322zred 9180 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
24 leaddsub 8207 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( I  +  1 )  <_  N  <->  I  <_  ( N  -  1 ) ) )
2512, 24mp3an2 1303 . . . 4  |-  ( ( I  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( I  + 
1 )  <_  N  <->  I  <_  ( N  - 
1 ) ) )
264, 23, 25syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( I  +  1 )  <_  N 
<->  I  <_  ( N  -  1 ) ) )
2720, 26mpbird 166 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  <_  N
)
282peano2zd 9183 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
2928adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ZZ )
30 1z 9087 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
31 elfz 9803 . . . 4  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( I  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  ( I  + 
1 )  /\  (
I  +  1 )  <_  N ) ) )
3230, 31mp3an2 1303 . . 3  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  (
I  +  1 )  /\  ( I  + 
1 )  <_  N
) ) )
3329, 22, 32syl2anc 408 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( I  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( 1  <_ 
( I  +  1 )  /\  ( I  +  1 )  <_  N ) ) )
3418, 27, 33mpbir2and 928 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   1c1 7628    + caddc 7630    <_ cle 7808    - cmin 7940   NNcn 8727   ZZcz 9061   ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator