Theorem fznatpl1 9849

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7774	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
2		elfzelz 9799	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ZZ )
3	2	zred 9166	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. RR )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I e. RR )
5		peano2re 7891	. . . 4 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
7		peano2re 7891	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> ( 1 + 1 ) e. RR )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) e. RR )
9	1	ltp1d 8681	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( 1 + 1 ) )
10		elfzle1 9800	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 <_ I )
11	10	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ I )
12		1re 7758	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
13		leadd1 8185	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ I e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
14	12, 12, 13	mp3an13 1306	. . . . . 6 |- ( I e. RR -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
16	11, 15	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) )
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 8178	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( I + 1 ) )
18	1, 6, 17	ltled 7874	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( I + 1 ) )
19		elfzle2 9801	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
20	19	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
21		nnz 9066	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
22	21	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9166	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
24		leaddsub 8193	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
25	12, 24	mp3an2 1303	. . . 4 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
26	4, 23, 25	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
27	20, 26	mpbird 166	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ N )
28	2	peano2zd 9169	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
29	28	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
30		1z 9073	. . . 4 |- 1 e. ZZ
31		elfz 9789	. . . 4 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
32	30, 31	mp3an2 1303	. . 3 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
33	29, 22, 32	syl2anc 408	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
34	18, 27, 33	mpbir2and 928	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614   + caddc 7616   <_ cle 7794   - cmin 7926   NNcn 8713   ZZcz 9047   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by: (None)