Theorem fznatpl1 10151

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8041	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
2		elfzelz 10100	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ZZ )
3	2	zred 9448	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. RR )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I e. RR )
5		peano2re 8162	. . . 4 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
7		peano2re 8162	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> ( 1 + 1 ) e. RR )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) e. RR )
9	1	ltp1d 8957	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( 1 + 1 ) )
10		elfzle1 10102	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 <_ I )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ I )
12		1re 8025	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
13		leadd1 8457	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ I e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
14	12, 12, 13	mp3an13 1339	. . . . . 6 |- ( I e. RR -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) )
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 8450	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( I + 1 ) )
18	1, 6, 17	ltled 8145	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( I + 1 ) )
19		elfzle2 10103	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
21		nnz 9345	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9448	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
24		leaddsub 8465	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
25	12, 24	mp3an2 1336	. . . 4 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
26	4, 23, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
27	20, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ N )
28	2	peano2zd 9451	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
30		1z 9352	. . . 4 |- 1 e. ZZ
31		elfz 10089	. . . 4 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
32	30, 31	mp3an2 1336	. . 3 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
33	29, 22, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
34	18, 27, 33	mpbir2and 946	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   - cmin 8197   NNcn 8990   ZZcz 9326   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by: (None)