Theorem fznatpl1 10079

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7975	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
2		elfzelz 10028	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ZZ )
3	2	zred 9378	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. RR )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I e. RR )
5		peano2re 8096	. . . 4 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
7		peano2re 8096	. . . . 5 |- ( 1 e. RR -> ( 1 + 1 ) e. RR )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) e. RR )
9	1	ltp1d 8890	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( 1 + 1 ) )
10		elfzle1 10030	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 <_ I )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ I )
12		1re 7959	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
13		leadd1 8390	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ I e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
14	12, 12, 13	mp3an13 1328	. . . . . 6 |- ( I e. RR -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) )
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 8383	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( I + 1 ) )
18	1, 6, 17	ltled 8079	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( I + 1 ) )
19		elfzle2 10031	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
21		nnz 9275	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9378	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
24		leaddsub 8398	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
25	12, 24	mp3an2 1325	. . . 4 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
26	4, 23, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
27	20, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ N )
28	2	peano2zd 9381	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
30		1z 9282	. . . 4 |- 1 e. ZZ
31		elfz 10017	. . . 4 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
32	30, 31	mp3an2 1325	. . 3 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
33	29, 22, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
34	18, 27, 33	mpbir2and 944	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   RRcr 7813   1c1 7815   + caddc 7817   <_ cle 7996   - cmin 8131   NNcn 8922   ZZcz 9256   ...cfz 10011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012

This theorem is referenced by: (None)