ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 Unicode version
Theorem fznatpl1 9887
Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 7805 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
2 elfzelz 9837 . . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ZZ )
32zred 9197 . . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I e. RR )
43adantl 275 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I e. RR )
5 peano2re 7922 . . . 4 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
64, 5syl 14 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
7 peano2re 7922 . . . . 5 |- ( 1 e. RR -> ( 1 + 1 ) e. RR )
81, 7syl 14 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) e. RR )
91ltp1d 8712 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( 1 + 1 ) )
10 elfzle1 9838 . . . . . 6 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 <_ I )
1110adantl 275 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ I )
12 1re 7789 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
13 leadd1 8216 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ I e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
1412, 12, 13mp3an13 1307 . . . . . 6 |- ( I e. RR -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
154, 14syl 14 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ I <-> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) ) )
1611, 15mpbid 146 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( I + 1 ) )
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 8209 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 < ( I + 1 ) )
181, 6, 17ltled 7905 . 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( I + 1 ) )
19 elfzle2 9839 . . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
2019adantl 275 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> I <_ ( N - 1 ) )
21 nnz 9097 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2221adantr 274 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
2322zred 9197 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
24 leaddsub 8224 . . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
2512, 24mp3an2 1304 . . . 4 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
264, 23, 25syl2anc 409 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) <_ N <-> I <_ ( N - 1 ) ) )
2720, 26mpbird 166 . 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ N )
282peano2zd 9200 . . . 4 |- ( I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
2928adantl 275 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
30 1z 9104 . . . 4 |- 1 e. ZZ
31 elfz 9827 . . . 4 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
3230, 31mp3an2 1304 . . 3 |- ( ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
3329, 22, 32syl2anc 409 . 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ ( I + 1 ) /\ ( I + 1 ) <_ N ) ) )
3418, 27, 33mpbir2and 929 1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   NNcn 8744   ZZcz 9078   ...cfz 9821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator