ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 Unicode version

Theorem fznatpl1 9551
Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 7564 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
2 elfzelz 9501 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ZZ )
32zred 8929 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  RR )
43adantl 272 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
5 peano2re 7679 . . . 4  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  RR )
7 peano2re 7679 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  +  1 )  e.  RR )
81, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  +  1 )  e.  RR )
91ltp1d 8452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <  (
1  +  1 ) )
10 elfzle1 9502 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  I )
1110adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  I
)
12 1re 7548 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 leadd1 7969 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  <_  I  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( I  +  1 ) ) )
1412, 12, 13mp3an13 1265 . . . . . 6  |-  ( I  e.  RR  ->  (
1  <_  I  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( I  +  1 ) ) )
154, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  <_  I 
<->  ( 1  +  1 )  <_  ( I  +  1 ) ) )
1611, 15mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_  (
I  +  1 ) )
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 7962 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <  (
I  +  1 ) )
181, 6, 17ltled 7663 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  (
I  +  1 ) )
19 elfzle2 9503 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
2019adantl 272 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
21 nnz 8830 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2221adantr 271 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
2322zred 8929 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
24 leaddsub 7977 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( I  +  1 )  <_  N  <->  I  <_  ( N  -  1 ) ) )
2512, 24mp3an2 1262 . . . 4  |-  ( ( I  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( I  + 
1 )  <_  N  <->  I  <_  ( N  - 
1 ) ) )
264, 23, 25syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( I  +  1 )  <_  N 
<->  I  <_  ( N  -  1 ) ) )
2720, 26mpbird 166 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  <_  N
)
282peano2zd 8932 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
2928adantl 272 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ZZ )
30 1z 8837 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
31 elfz 9491 . . . 4  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( I  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  ( I  + 
1 )  /\  (
I  +  1 )  <_  N ) ) )
3230, 31mp3an2 1262 . . 3  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  (
I  +  1 )  /\  ( I  + 
1 )  <_  N
) ) )
3329, 22, 32syl2anc 404 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( I  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( 1  <_ 
( I  +  1 )  /\  ( I  +  1 )  <_  N ) ) )
3418, 27, 33mpbir2and 891 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   1c1 7412    + caddc 7414    <_ cle 7584    - cmin 7714   NNcn 8483   ZZcz 8811   ...cfz 9485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator