ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1end Unicode version

Theorem elfz1end 10068
Description: A nonempty finite range of integers contains its end point. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elfz1end  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )

Proof of Theorem elfz1end
StepHypRef Expression
1 elnnuz 9577 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21biimpi 120 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3 nnz 9285 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
4 uzid 9555 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
6 eluzfz 10033 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
72, 5, 6syl2anc 411 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
8 elfznn 10067 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... A )  ->  A  e.  NN )
97, 8impbii 126 1  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1c1 7825   NNcn 8932   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022
This theorem is referenced by:  prmind2  12133  2sqlem10  14743
  Copyright terms: Public domain W3C validator