Theorem nnz 9497

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9495	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3223	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NNcn 9142   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-z 9479

This theorem is referenced by:  elnnz1  9501  znegcl  9509  nnnle0  9527  nnleltp1  9538  nnltp1le  9539  elz2  9550  nnlem1lt  9563  nnltlem1  9564  nnm1ge0  9565  prime  9578  nneo  9582  zeo  9584  btwnz  9598  indstr  9826  eluz2b2  9836  elnn1uz2  9840  qaddcl  9868  qreccl  9875  elpqb  9883  elfz1end  10289  fznatpl1  10310  fznn  10323  elfz1b  10324  elfzo0  10420  fzo1fzo0n0  10421  elfzo0z  10422  elfzo1  10429  ubmelm1fzo  10470  intfracq  10581  zmodcl  10605  zmodfz  10607  zmodfzo  10608  zmodid2  10613  zmodidfzo  10614  modfzo0difsn  10656  mulexpzap  10840  nnesq  10920  expnlbnd  10925  expnlbnd2  10926  nn0ltexp2  10970  facdiv  10999  faclbnd  11002  bc0k  11017  bcval5  11024  seq3coll  11105  ccatval21sw  11181  caucvgrelemcau  11540  resqrexlemlo  11573  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemgt0  11580  absexpzap  11640  climuni  11853  fsum3  11947  arisum  12058  trireciplem  12060  expcnvap0  12062  geo2sum  12074  geo2lim  12076  0.999...  12081  geoihalfsum  12082  cvgratz  12092  zproddc  12139  fprodseq  12143  prod1dc  12146  dvdsval3  12351  nndivdvds  12356  modmulconst  12383  dvdsle  12404  dvdsssfz1  12412  fzm1ndvds  12416  dvdsfac  12420  oexpneg  12437  nnoddm1d2  12470  divalg2  12486  divalgmod  12487  modremain  12489  ndvdsadd  12491  nndvdslegcd  12535  divgcdz  12541  divgcdnn  12545  divgcdnnr  12546  modgcd  12561  gcddiv  12589  gcdmultiple  12590  gcdmultiplez  12591  gcdzeq  12592  gcdeq  12593  rpmulgcd  12596  rplpwr  12597  rppwr  12598  sqgcd  12599  dvdssqlem  12600  dvdssq  12601  eucalginv  12627  lcmgcdlem  12648  lcmgcdnn  12653  lcmass  12656  coprmgcdb  12659  qredeq  12667  qredeu  12668  cncongr1  12674  cncongr2  12675  1idssfct  12686  isprm2lem  12687  isprm3  12689  isprm4  12690  prmind2  12691  prmdc  12701  divgcdodd  12714  isprm6  12718  sqrt2irr  12733  pw2dvds  12737  sqrt2irraplemnn  12750  divnumden  12767  divdenle  12768  nn0gcdsq  12771  phivalfi  12783  phicl2  12785  phiprmpw  12793  hashgcdlem  12809  dvdsfi  12810  hashgcdeq  12811  phisum  12812  nnoddn2prm  12832  pythagtriplem2  12838  pythagtriplem3  12839  pythagtriplem4  12840  pythagtriplem6  12842  pythagtriplem7  12843  pythagtriplem8  12844  pythagtriplem9  12845  pythagtriplem11  12846  pythagtriplem13  12848  pythagtriplem15  12850  pythagtriplem19  12854  pythagtrip  12855  pceu  12867  pccl  12871  pcdiv  12874  pcqcl  12878  pcdvds  12887  pcndvds  12889  pcndvds2  12891  pcelnn  12893  pcz  12904  pcmpt  12915  fldivp1  12920  pcfac  12922  infpnlem1  12931  infpnlem2  12932  prmunb  12934  1arith  12939  oddennn  13012  evenennn  13013  unennn  13017  mulgnn  13712  mulgnngsum  13713  mulgaddcom  13732  mulginvcom  13733  mulgmodid  13747  ghmmulg  13842  mulgass2  14070  znfi  14668  znhash  14669  znidomb  14671  znrrg  14673  rpcxproot  15637  logbgcd1irr  15690  sgmnncl  15711  lgsval  15732  lgsval4a  15750  lgssq2  15769  gausslemma2dlem0c  15779  gausslemma2dlem0e  15781  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem5  15794  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquad3  15812  2lgslem1a1  15814  2lgslem3  15829  2lgsoddprm  15841  trilpolemcl  16641