Theorem nnz 9642

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9640	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624

This theorem is referenced by:  elnnz1  9646  znegcl  9654  nnnle0  9672  nnleltp1  9683  nnltp1le  9684  elz2  9695  nnlem1lt  9709  nnltlem1  9710  nnm1ge0  9711  prime  9724  nneo  9728  zeo  9730  btwnz  9744  indstr  9972  eluz2b2  9982  elnn1uz2  9986  qaddcl  10014  qreccl  10021  elpqb  10029  elfz1end  10439  fznatpl1  10461  fznn  10474  elfz1b  10475  elfzo0  10571  fzo1fzo0n0  10573  elfzo0z  10574  elfzo1  10581  ubmelm1fzo  10622  intfracq  10735  zmodcl  10759  zmodfz  10761  zmodfzo  10762  zmodid2  10767  zmodidfzo  10768  modfzo0difsn  10810  mulexpzap  10994  nnesq  11075  expnlbnd  11080  expnlbnd2  11081  nn0ltexp2  11125  facdiv  11154  faclbnd  11157  bc0k  11172  bcval5  11179  bcm1n  11185  seq3coll  11272  ccatval21sw  11351  caucvgrelemcau  11724  resqrexlemlo  11757  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemgt0  11764  absexpzap  11824  climuni  12037  fsum3  12132  arisum  12243  trireciplem  12245  expcnvap0  12247  geo2sum  12259  geo2lim  12261  0.999...  12266  geoihalfsum  12267  cvgratz  12277  zproddc  12324  fprodseq  12328  prod1dc  12331  dvdsval3  12536  nndivdvds  12541  modmulconst  12568  dvdsle  12589  dvdsssfz1  12597  fzm1ndvds  12601  dvdsfac  12605  oexpneg  12622  nnoddm1d2  12655  divalg2  12671  divalgmod  12672  modremain  12674  ndvdsadd  12676  nndvdslegcd  12720  divgcdz  12726  divgcdnn  12730  divgcdnnr  12731  modgcd  12746  gcddiv  12774  gcdmultiple  12775  gcdmultiplez  12776  gcdzeq  12777  gcdeq  12778  rpmulgcd  12781  rplpwr  12782  rppwr  12783  sqgcd  12784  dvdssqlem  12785  dvdssq  12786  eucalginv  12812  lcmgcdlem  12833  lcmgcdnn  12838  lcmass  12841  coprmgcdb  12844  qredeq  12852  qredeu  12853  cncongr1  12859  cncongr2  12860  1idssfct  12871  isprm2lem  12872  isprm3  12874  isprm4  12875  prmind2  12876  prmdc  12886  divgcdodd  12899  isprm6  12903  sqrt2irr  12918  pw2dvds  12922  sqrt2irraplemnn  12935  divnumden  12952  divdenle  12953  nn0gcdsq  12956  phivalfi  12968  phicl2  12970  phiprmpw  12978  hashgcdlem  12994  dvdsfi  12995  hashgcdeq  12996  phisum  12997  nnoddn2prm  13017  pythagtriplem2  13023  pythagtriplem3  13024  pythagtriplem4  13025  pythagtriplem6  13027  pythagtriplem7  13028  pythagtriplem8  13029  pythagtriplem9  13030  pythagtriplem11  13031  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem15  13035  pythagtriplem19  13039  pythagtrip  13040  pceu  13052  pccl  13056  pcdiv  13059  pcqcl  13063  pcdvds  13072  pcndvds  13074  pcndvds2  13076  pcelnn  13078  pcz  13089  pcmpt  13100  fldivp1  13105  pcfac  13107  infpnlem1  13116  infpnlem2  13117  prmunb  13119  1arith  13124  ballotfilemiex  13222  oddennn  13261  evenennn  13262  unennn  13266  mulgnn  13906  mulgnngzsum  13907  mulgaddcom  13926  mulginvcom  13927  mulgmodid  13941  ghmmulg  14036  mulgass2  14336  znfi  14962  znhash  14963  znidomb  14965  znrrg  14967  rpcxproot  15939  logbgcd1irr  15992  sgmnncl  16016  lgsval  16037  lgsval4a  16055  lgssq2  16074  gausslemma2dlem0c  16084  gausslemma2dlem0e  16086  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem5  16099  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquad3  16117  2lgslem1a1  16119  2lgslem3  16134  2lgsoddprm  16146  trilpolemcl  16991