Theorem nnz 9667

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9665	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9306   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-z 9649

This theorem is used by:  elnnz1  9671  znegcl  9679  nnnle0  9697  nnleltp1  9708  nnltp1le  9709  elz2  9720  nnlem1lt  9734  nnltlem1  9735  nnm1ge0  9736  prime  9749  nneo  9753  zeo  9755  btwnz  9769  indstr  10002  eluz2b2  10012  elnn1uz2  10016  qaddcl  10044  qreccl  10051  elpqb  10060  elfz1end  10471  fznatpl1  10493  fznn  10506  elfz1b  10507  elfzo0  10603  fzo1fzo0n0  10605  elfzo0z  10606  elfzo1  10613  ubmelm1fzo  10654  intfracq  10770  zmodcl  10794  zmodfz  10796  zmodfzo  10797  zmodid2  10802  zmodidfzo  10803  modfzo0difsn  10845  mulexpzap  11029  nnesq  11110  expnlbnd  11115  expnlbnd2  11116  nn0ltexp2  11161  facdiv  11190  faclbnd  11193  bc0k  11208  bcval5  11215  bcm1n  11221  seq3coll  11308  ccatval21sw  11387  caucvgrelemcau  11760  resqrexlemlo  11793  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemgt0  11800  absexpzap  11861  climuni  12075  fsum3  12170  arisum  12281  trireciplem  12283  expcnvap0  12285  geo2sum  12297  geo2lim  12299  0.999...  12304  geoihalfsum  12305  cvgratz  12315  zproddc  12362  fprodseq  12366  prod1dc  12369  dvdsval3  12574  nndivdvds  12579  modmulconst  12606  dvdsle  12627  dvdsssfz1  12635  fzm1ndvds  12639  dvdsfac  12643  oexpneg  12660  nnoddm1d2  12693  divalg2  12709  divalgmod  12710  modremain  12712  ndvdsadd  12714  nndvdslegcd  12758  divgcdz  12764  divgcdnn  12768  divgcdnnr  12769  modgcd  12784  gcddiv  12812  gcdmultiple  12813  gcdmultiplez  12814  gcdzeq  12815  gcdeq  12816  rpmulgcd  12819  rplpwr  12820  rppwr  12821  sqgcd  12822  dvdssqlem  12823  dvdssq  12824  eucalginv  12850  lcmgcdlem  12871  lcmgcdnn  12876  lcmass  12879  coprmgcdb  12882  qredeq  12890  qredeu  12891  cncongr1  12897  cncongr2  12898  1idssfct  12909  isprm2lem  12910  isprm3  12912  isprm4  12913  prmind2  12914  prmdc  12924  divgcdodd  12938  isprm6  12942  sqrt2irr  12957  sqrt2irraplemnn  12975  divnumden  12992  divdenle  12993  nn0gcdsq  12996  phivalfi  13010  phicl2  13012  phiprmpw  13020  hashgcdlem  13036  dvdsfi  13037  hashgcdeq  13038  phisum  13039  nnoddn2prm  13059  pythagtriplem2  13065  pythagtriplem3  13066  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem6  13069  pythagtriplem7  13070  pythagtriplem8  13071  pythagtriplem9  13072  pythagtriplem11  13073  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem15  13077  pythagtriplem19  13081  pythagtrip  13082  pceu  13094  pccl  13098  pcdiv  13101  pcqcl  13105  pcdvds  13114  pcndvds  13116  pcndvds2  13118  pcelnn  13120  pcz  13131  pcmpt  13142  fldivp1  13147  pcfac  13149  infpnlem1  13158  infpnlem2  13159  prmunb  13161  1arith  13166  ballotfilemiex  13293  oddennn  13332  evenennn  13333  unennn  13337  mulgnn  13978  mulgnngzsum  13979  mulgaddcom  13998  mulginvcom  13999  mulgmodid  14013  ghmmulg  14108  mulgass2  14412  znfi  15039  znhash  15040  znidomb  15042  znrrg  15044  rpcxproot  16069  logbgcd1irr  16122  birthdaylem1g  16144  birthdaylem2  16145  birthdaylem3  16146  prmdvdsfi  16159  sgmnncl  16169  pcbcctr  16201  bclbnd  16205  bposlem1  16209  bposlem5  16213  lgsval  16221  lgsval4a  16239  lgssq2  16258  gausslemma2dlem0c  16268  gausslemma2dlem0e  16270  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem5  16283  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquad3  16301  2lgslem1a1  16303  2lgslem3  16318  2lgsoddprm  16330  trilpolemcl  17184