Theorem nnz 9672

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9670	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9654

This theorem is used by:  elnnz1  9676  znegcl  9684  nnnle0  9702  nnleltp1  9713  nnltp1le  9714  elz2  9725  nnlem1lt  9739  nnltlem1  9740  nnm1ge0  9741  prime  9755  nneo  9759  zeo  9761  btwnz  9775  indstr  10008  eluz2b2  10018  elnn1uz2  10022  qaddcl  10050  qreccl  10057  elpqb  10066  elfz1end  10477  fznatpl1  10499  fznn  10512  elfz1b  10513  elfzo0  10609  fzo1fzo0n0  10611  elfzo0z  10612  elfzo1  10619  ubmelm1fzo  10660  intfracq  10777  zmodcl  10801  zmodfz  10803  zmodfzo  10804  zmodid2  10809  zmodidfzo  10810  modfzo0difsn  10852  mulexpzap  11036  nnesq  11117  expnlbnd  11122  expnlbnd2  11123  nn0ltexp2  11168  facdiv  11197  faclbnd  11200  bc0k  11215  bcval5  11222  bcm1n  11228  seq3coll  11315  ccatval21sw  11394  caucvgrelemcau  11767  resqrexlemlo  11800  resqrexlemcalc3  11803  resqrexlemgt0  11807  absexpzap  11868  climuni  12083  fsum3  12178  arisum  12289  trireciplem  12291  expcnvap0  12293  geo2sum  12305  geo2lim  12307  0.999...  12312  geoihalfsum  12313  cvgratz  12323  zproddc  12370  fprodseq  12374  prod1dc  12377  dvdsval3  12582  nndivdvds  12587  modmulconst  12614  dvdsle  12635  dvdsssfz1  12643  fzm1ndvds  12647  dvdsfac  12651  oexpneg  12668  nnoddm1d2  12701  divalg2  12717  divalgmod  12718  modremain  12720  ndvdsadd  12722  nndvdslegcd  12766  divgcdz  12772  divgcdnn  12776  divgcdnnr  12777  modgcd  12792  gcddiv  12820  gcdmultiple  12821  gcdmultiplez  12822  gcdzeq  12823  gcdeq  12824  rpmulgcd  12827  rplpwr  12828  rppwr  12829  sqgcd  12830  dvdssqlem  12831  dvdssq  12832  eucalginv  12858  lcmgcdlem  12879  lcmgcdnn  12884  lcmass  12887  coprmgcdb  12890  qredeq  12898  qredeu  12899  cncongr1  12905  cncongr2  12906  1idssfct  12917  isprm2lem  12918  isprm3  12920  isprm4  12921  prmind2  12922  prmdc  12932  divgcdodd  12946  isprm6  12950  sqrt2irr  12965  sqrt2irraplemnn  12983  divnumden  13000  divdenle  13001  nn0gcdsq  13004  phivalfi  13018  phicl2  13020  phiprmpw  13028  hashgcdlem  13044  dvdsfi  13045  hashgcdeq  13046  phisum  13047  nnoddn2prm  13067  pythagtriplem2  13073  pythagtriplem3  13074  pythagtriplem4  13075  pythagtriplem6  13077  pythagtriplem7  13078  pythagtriplem8  13079  pythagtriplem9  13080  pythagtriplem11  13081  pythagtriplem13  13083  pythagtriplem15  13085  pythagtriplem19  13089  pythagtrip  13090  pceu  13102  pccl  13106  pcdiv  13109  pcqcl  13113  pcdvds  13122  pcndvds  13124  pcndvds2  13126  pcelnn  13128  pcz  13139  pcmpt  13150  fldivp1  13155  pcfac  13157  infpnlem1  13166  infpnlem2  13167  prmunb  13169  1arith  13174  ballotfilemiex  13301  oddennn  13340  evenennn  13341  unennn  13345  mulgnn  13987  mulgnngzsum  13988  mulgaddcom  14007  mulginvcom  14008  mulgmodid  14022  ghmmulg  14117  mulgass2  14469  znfi  15098  znhash  15099  znidomb  15101  znrrg  15103  root1idef  16101  rpcxproot  16164  logbgcd1irr  16220  birthdaylem1g  16242  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  prmdvdsfi  16260  sgmnncl  16274  prmorcht  16299  chtublem  16312  pcbcctr  16320  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem5  16332  bpos  16337  lgsval  16345  lgsval4a  16363  lgssq2  16382  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0e  16394  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem5  16407  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquad3  16425  2lgslem1a1  16427  2lgslem3  16442  2lgsoddprm  16454  trilpolemcl  17310