Theorem nnz 9426

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9424	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3197	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   NNcn 9071   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408

This theorem is referenced by:  elnnz1  9430  znegcl  9438  nnnle0  9456  nnleltp1  9467  nnltp1le  9468  elz2  9479  nnlem1lt  9492  nnltlem1  9493  nnm1ge0  9494  prime  9507  nneo  9511  zeo  9513  btwnz  9527  indstr  9749  eluz2b2  9759  elnn1uz2  9763  qaddcl  9791  qreccl  9798  elpqb  9806  elfz1end  10212  fznatpl1  10233  fznn  10246  elfz1b  10247  elfzo0  10343  fzo1fzo0n0  10344  elfzo0z  10345  elfzo1  10351  ubmelm1fzo  10392  intfracq  10502  zmodcl  10526  zmodfz  10528  zmodfzo  10529  zmodid2  10534  zmodidfzo  10535  modfzo0difsn  10577  mulexpzap  10761  nnesq  10841  expnlbnd  10846  expnlbnd2  10847  nn0ltexp2  10891  facdiv  10920  faclbnd  10923  bc0k  10938  bcval5  10945  seq3coll  11024  ccatval21sw  11099  caucvgrelemcau  11406  resqrexlemlo  11439  resqrexlemcalc3  11442  resqrexlemgt0  11446  absexpzap  11506  climuni  11719  fsum3  11813  arisum  11924  trireciplem  11926  expcnvap0  11928  geo2sum  11940  geo2lim  11942  0.999...  11947  geoihalfsum  11948  cvgratz  11958  zproddc  12005  fprodseq  12009  prod1dc  12012  dvdsval3  12217  nndivdvds  12222  modmulconst  12249  dvdsle  12270  dvdsssfz1  12278  fzm1ndvds  12282  dvdsfac  12286  oexpneg  12303  nnoddm1d2  12336  divalg2  12352  divalgmod  12353  modremain  12355  ndvdsadd  12357  nndvdslegcd  12401  divgcdz  12407  divgcdnn  12411  divgcdnnr  12412  modgcd  12427  gcddiv  12455  gcdmultiple  12456  gcdmultiplez  12457  gcdzeq  12458  gcdeq  12459  rpmulgcd  12462  rplpwr  12463  rppwr  12464  sqgcd  12465  dvdssqlem  12466  dvdssq  12467  eucalginv  12493  lcmgcdlem  12514  lcmgcdnn  12519  lcmass  12522  coprmgcdb  12525  qredeq  12533  qredeu  12534  cncongr1  12540  cncongr2  12541  1idssfct  12552  isprm2lem  12553  isprm3  12555  isprm4  12556  prmind2  12557  prmdc  12567  divgcdodd  12580  isprm6  12584  sqrt2irr  12599  pw2dvds  12603  sqrt2irraplemnn  12616  divnumden  12633  divdenle  12634  nn0gcdsq  12637  phivalfi  12649  phicl2  12651  phiprmpw  12659  hashgcdlem  12675  dvdsfi  12676  hashgcdeq  12677  phisum  12678  nnoddn2prm  12698  pythagtriplem2  12704  pythagtriplem3  12705  pythagtriplem4  12706  pythagtriplem6  12708  pythagtriplem7  12709  pythagtriplem8  12710  pythagtriplem9  12711  pythagtriplem11  12712  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem15  12716  pythagtriplem19  12720  pythagtrip  12721  pceu  12733  pccl  12737  pcdiv  12740  pcqcl  12744  pcdvds  12753  pcndvds  12755  pcndvds2  12757  pcelnn  12759  pcz  12770  pcmpt  12781  fldivp1  12786  pcfac  12788  infpnlem1  12797  infpnlem2  12798  prmunb  12800  1arith  12805  oddennn  12878  evenennn  12879  unennn  12883  mulgnn  13577  mulgnngsum  13578  mulgaddcom  13597  mulginvcom  13598  mulgmodid  13612  ghmmulg  13707  mulgass2  13935  znfi  14532  znhash  14533  znidomb  14535  znrrg  14537  rpcxproot  15501  logbgcd1irr  15554  sgmnncl  15575  lgsval  15596  lgsval4a  15614  lgssq2  15633  gausslemma2dlem0c  15643  gausslemma2dlem0e  15645  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem3  15655  gausslemma2dlem5  15658  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquad3  15676  2lgslem1a1  15678  2lgslem3  15693  2lgsoddprm  15705  trilpolemcl  16178