Theorem nnz 9674

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9672	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656

This theorem is used by:  elnnz1  9678  znegcl  9686  nnnle0  9704  nnleltp1  9715  nnltp1le  9716  elz2  9727  nnlem1lt  9741  nnltlem1  9742  nnm1ge0  9743  prime  9756  nneo  9760  zeo  9762  btwnz  9776  indstr  10009  eluz2b2  10019  elnn1uz2  10023  qaddcl  10051  qreccl  10058  elpqb  10067  elfz1end  10478  fznatpl1  10500  fznn  10513  elfz1b  10514  elfzo0  10610  fzo1fzo0n0  10612  elfzo0z  10613  elfzo1  10620  ubmelm1fzo  10661  intfracq  10778  zmodcl  10802  zmodfz  10804  zmodfzo  10805  zmodid2  10810  zmodidfzo  10811  modfzo0difsn  10853  mulexpzap  11037  nnesq  11118  expnlbnd  11123  expnlbnd2  11124  nn0ltexp2  11169  facdiv  11198  faclbnd  11201  bc0k  11216  bcval5  11223  bcm1n  11229  seq3coll  11316  ccatval21sw  11395  caucvgrelemcau  11768  resqrexlemlo  11801  resqrexlemcalc3  11804  resqrexlemgt0  11808  absexpzap  11869  climuni  12084  fsum3  12179  arisum  12290  trireciplem  12292  expcnvap0  12294  geo2sum  12306  geo2lim  12308  0.999...  12313  geoihalfsum  12314  cvgratz  12324  zproddc  12371  fprodseq  12375  prod1dc  12378  dvdsval3  12583  nndivdvds  12588  modmulconst  12615  dvdsle  12636  dvdsssfz1  12644  fzm1ndvds  12648  dvdsfac  12652  oexpneg  12669  nnoddm1d2  12702  divalg2  12718  divalgmod  12719  modremain  12721  ndvdsadd  12723  nndvdslegcd  12767  divgcdz  12773  divgcdnn  12777  divgcdnnr  12778  modgcd  12793  gcddiv  12821  gcdmultiple  12822  gcdmultiplez  12823  gcdzeq  12824  gcdeq  12825  rpmulgcd  12828  rplpwr  12829  rppwr  12830  sqgcd  12831  dvdssqlem  12832  dvdssq  12833  eucalginv  12859  lcmgcdlem  12880  lcmgcdnn  12885  lcmass  12888  coprmgcdb  12891  qredeq  12899  qredeu  12900  cncongr1  12906  cncongr2  12907  1idssfct  12918  isprm2lem  12919  isprm3  12921  isprm4  12922  prmind2  12923  prmdc  12933  divgcdodd  12947  isprm6  12951  sqrt2irr  12966  sqrt2irraplemnn  12984  divnumden  13001  divdenle  13002  nn0gcdsq  13005  phivalfi  13019  phicl2  13021  phiprmpw  13029  hashgcdlem  13045  dvdsfi  13046  hashgcdeq  13047  phisum  13048  nnoddn2prm  13068  pythagtriplem2  13074  pythagtriplem3  13075  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem6  13078  pythagtriplem7  13079  pythagtriplem8  13080  pythagtriplem9  13081  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem15  13086  pythagtriplem19  13090  pythagtrip  13091  pceu  13103  pccl  13107  pcdiv  13110  pcqcl  13114  pcdvds  13123  pcndvds  13125  pcndvds2  13127  pcelnn  13129  pcz  13140  pcmpt  13151  fldivp1  13156  pcfac  13158  infpnlem1  13167  infpnlem2  13168  prmunb  13170  1arith  13175  ballotfilemiex  13302  oddennn  13341  evenennn  13342  unennn  13346  mulgnn  13988  mulgnngzsum  13989  mulgaddcom  14008  mulginvcom  14009  mulgmodid  14023  ghmmulg  14118  mulgass2  14470  znfi  15099  znhash  15100  znidomb  15102  znrrg  15104  root1idef  16084  rpcxproot  16147  logbgcd1irr  16203  birthdaylem1g  16225  birthdaylem2  16226  birthdaylem3  16227  prmdvdsfi  16243  sgmnncl  16257  prmorcht  16282  chtublem  16295  pcbcctr  16303  bclbnd  16307  bposlem1  16311  bposlem5  16315  bpos  16320  lgsval  16328  lgsval4a  16346  lgssq2  16365  gausslemma2dlem0c  16375  gausslemma2dlem0e  16377  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem5  16390  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquad3  16408  2lgslem1a1  16410  2lgslem3  16425  2lgsoddprm  16437  trilpolemcl  17293