Theorem nnz 9476

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9474	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3220	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   NNcn 9121   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458

This theorem is referenced by:  elnnz1  9480  znegcl  9488  nnnle0  9506  nnleltp1  9517  nnltp1le  9518  elz2  9529  nnlem1lt  9542  nnltlem1  9543  nnm1ge0  9544  prime  9557  nneo  9561  zeo  9563  btwnz  9577  indstr  9800  eluz2b2  9810  elnn1uz2  9814  qaddcl  9842  qreccl  9849  elpqb  9857  elfz1end  10263  fznatpl1  10284  fznn  10297  elfz1b  10298  elfzo0  10394  fzo1fzo0n0  10395  elfzo0z  10396  elfzo1  10403  ubmelm1fzo  10444  intfracq  10554  zmodcl  10578  zmodfz  10580  zmodfzo  10581  zmodid2  10586  zmodidfzo  10587  modfzo0difsn  10629  mulexpzap  10813  nnesq  10893  expnlbnd  10898  expnlbnd2  10899  nn0ltexp2  10943  facdiv  10972  faclbnd  10975  bc0k  10990  bcval5  10997  seq3coll  11077  ccatval21sw  11153  caucvgrelemcau  11506  resqrexlemlo  11539  resqrexlemcalc3  11542  resqrexlemgt0  11546  absexpzap  11606  climuni  11819  fsum3  11913  arisum  12024  trireciplem  12026  expcnvap0  12028  geo2sum  12040  geo2lim  12042  0.999...  12047  geoihalfsum  12048  cvgratz  12058  zproddc  12105  fprodseq  12109  prod1dc  12112  dvdsval3  12317  nndivdvds  12322  modmulconst  12349  dvdsle  12370  dvdsssfz1  12378  fzm1ndvds  12382  dvdsfac  12386  oexpneg  12403  nnoddm1d2  12436  divalg2  12452  divalgmod  12453  modremain  12455  ndvdsadd  12457  nndvdslegcd  12501  divgcdz  12507  divgcdnn  12511  divgcdnnr  12512  modgcd  12527  gcddiv  12555  gcdmultiple  12556  gcdmultiplez  12557  gcdzeq  12558  gcdeq  12559  rpmulgcd  12562  rplpwr  12563  rppwr  12564  sqgcd  12565  dvdssqlem  12566  dvdssq  12567  eucalginv  12593  lcmgcdlem  12614  lcmgcdnn  12619  lcmass  12622  coprmgcdb  12625  qredeq  12633  qredeu  12634  cncongr1  12640  cncongr2  12641  1idssfct  12652  isprm2lem  12653  isprm3  12655  isprm4  12656  prmind2  12657  prmdc  12667  divgcdodd  12680  isprm6  12684  sqrt2irr  12699  pw2dvds  12703  sqrt2irraplemnn  12716  divnumden  12733  divdenle  12734  nn0gcdsq  12737  phivalfi  12749  phicl2  12751  phiprmpw  12759  hashgcdlem  12775  dvdsfi  12776  hashgcdeq  12777  phisum  12778  nnoddn2prm  12798  pythagtriplem2  12804  pythagtriplem3  12805  pythagtriplem4  12806  pythagtriplem6  12808  pythagtriplem7  12809  pythagtriplem8  12810  pythagtriplem9  12811  pythagtriplem11  12812  pythagtriplem13  12814  pythagtriplem15  12816  pythagtriplem19  12820  pythagtrip  12821  pceu  12833  pccl  12837  pcdiv  12840  pcqcl  12844  pcdvds  12853  pcndvds  12855  pcndvds2  12857  pcelnn  12859  pcz  12870  pcmpt  12881  fldivp1  12886  pcfac  12888  infpnlem1  12897  infpnlem2  12898  prmunb  12900  1arith  12905  oddennn  12978  evenennn  12979  unennn  12983  mulgnn  13678  mulgnngsum  13679  mulgaddcom  13698  mulginvcom  13699  mulgmodid  13713  ghmmulg  13808  mulgass2  14036  znfi  14634  znhash  14635  znidomb  14637  znrrg  14639  rpcxproot  15603  logbgcd1irr  15656  sgmnncl  15677  lgsval  15698  lgsval4a  15716  lgssq2  15735  gausslemma2dlem0c  15745  gausslemma2dlem0e  15747  gausslemma2dlem1a  15752  gausslemma2dlem3  15757  gausslemma2dlem5  15760  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  lgsquad3  15778  2lgslem1a1  15780  2lgslem3  15795  2lgsoddprm  15807  trilpolemcl  16465