Theorem nnz 9596

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9594	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3234	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   NNcn 9237   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578

This theorem is referenced by:  elnnz1  9600  znegcl  9608  nnnle0  9626  nnleltp1  9637  nnltp1le  9638  elz2  9649  nnlem1lt  9662  nnltlem1  9663  nnm1ge0  9664  prime  9677  nneo  9681  zeo  9683  btwnz  9697  indstr  9925  eluz2b2  9935  elnn1uz2  9939  qaddcl  9967  qreccl  9974  elpqb  9982  elfz1end  10389  fznatpl1  10410  fznn  10423  elfz1b  10424  elfzo0  10520  fzo1fzo0n0  10522  elfzo0z  10523  elfzo1  10530  ubmelm1fzo  10571  intfracq  10682  zmodcl  10706  zmodfz  10708  zmodfzo  10709  zmodid2  10714  zmodidfzo  10715  modfzo0difsn  10757  mulexpzap  10941  nnesq  11021  expnlbnd  11026  expnlbnd2  11027  nn0ltexp2  11071  facdiv  11100  faclbnd  11103  bc0k  11118  bcval5  11125  bcm1n  11131  seq3coll  11214  ccatval21sw  11293  caucvgrelemcau  11665  resqrexlemlo  11698  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemgt0  11705  absexpzap  11765  climuni  11978  fsum3  12073  arisum  12184  trireciplem  12186  expcnvap0  12188  geo2sum  12200  geo2lim  12202  0.999...  12207  geoihalfsum  12208  cvgratz  12218  zproddc  12265  fprodseq  12269  prod1dc  12272  dvdsval3  12477  nndivdvds  12482  modmulconst  12509  dvdsle  12530  dvdsssfz1  12538  fzm1ndvds  12542  dvdsfac  12546  oexpneg  12563  nnoddm1d2  12596  divalg2  12612  divalgmod  12613  modremain  12615  ndvdsadd  12617  nndvdslegcd  12661  divgcdz  12667  divgcdnn  12671  divgcdnnr  12672  modgcd  12687  gcddiv  12715  gcdmultiple  12716  gcdmultiplez  12717  gcdzeq  12718  gcdeq  12719  rpmulgcd  12722  rplpwr  12723  rppwr  12724  sqgcd  12725  dvdssqlem  12726  dvdssq  12727  eucalginv  12753  lcmgcdlem  12774  lcmgcdnn  12779  lcmass  12782  coprmgcdb  12785  qredeq  12793  qredeu  12794  cncongr1  12800  cncongr2  12801  1idssfct  12812  isprm2lem  12813  isprm3  12815  isprm4  12816  prmind2  12817  prmdc  12827  divgcdodd  12840  isprm6  12844  sqrt2irr  12859  pw2dvds  12863  sqrt2irraplemnn  12876  divnumden  12893  divdenle  12894  nn0gcdsq  12897  phivalfi  12909  phicl2  12911  phiprmpw  12919  hashgcdlem  12935  dvdsfi  12936  hashgcdeq  12937  phisum  12938  nnoddn2prm  12958  pythagtriplem2  12964  pythagtriplem3  12965  pythagtriplem4  12966  pythagtriplem6  12968  pythagtriplem7  12969  pythagtriplem8  12970  pythagtriplem9  12971  pythagtriplem11  12972  pythagtriplem13  12974  pythagtriplem15  12976  pythagtriplem19  12980  pythagtrip  12981  pceu  12993  pccl  12997  pcdiv  13000  pcqcl  13004  pcdvds  13013  pcndvds  13015  pcndvds2  13017  pcelnn  13019  pcz  13030  pcmpt  13041  fldivp1  13046  pcfac  13048  infpnlem1  13057  infpnlem2  13058  prmunb  13060  1arith  13065  oddennn  13143  evenennn  13144  unennn  13148  mulgnn  13843  mulgnngsum  13844  mulgaddcom  13863  mulginvcom  13864  mulgmodid  13878  ghmmulg  13973  mulgass2  14202  znfi  14803  znhash  14804  znidomb  14806  znrrg  14808  rpcxproot  15779  logbgcd1irr  15832  sgmnncl  15856  lgsval  15877  lgsval4a  15895  lgssq2  15914  gausslemma2dlem0c  15924  gausslemma2dlem0e  15926  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem5  15939  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquad3  15957  2lgslem1a1  15959  2lgslem3  15974  2lgsoddprm  15986  trilpolemcl  16821