Theorem nnz 9663

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9661	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9304   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645

This theorem is used by:  elnnz1  9667  znegcl  9675  nnnle0  9693  nnleltp1  9704  nnltp1le  9705  elz2  9716  nnlem1lt  9730  nnltlem1  9731  nnm1ge0  9732  prime  9745  nneo  9749  zeo  9751  btwnz  9765  indstr  9993  eluz2b2  10003  elnn1uz2  10007  qaddcl  10035  qreccl  10042  elpqb  10050  elfz1end  10461  fznatpl1  10483  fznn  10496  elfz1b  10497  elfzo0  10593  fzo1fzo0n0  10595  elfzo0z  10596  elfzo1  10603  ubmelm1fzo  10644  intfracq  10757  zmodcl  10781  zmodfz  10783  zmodfzo  10784  zmodid2  10789  zmodidfzo  10790  modfzo0difsn  10832  mulexpzap  11016  nnesq  11097  expnlbnd  11102  expnlbnd2  11103  nn0ltexp2  11147  facdiv  11176  faclbnd  11179  bc0k  11194  bcval5  11201  bcm1n  11207  seq3coll  11294  ccatval21sw  11373  caucvgrelemcau  11746  resqrexlemlo  11779  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemgt0  11786  absexpzap  11846  climuni  12059  fsum3  12154  arisum  12265  trireciplem  12267  expcnvap0  12269  geo2sum  12281  geo2lim  12283  0.999...  12288  geoihalfsum  12289  cvgratz  12299  zproddc  12346  fprodseq  12350  prod1dc  12353  dvdsval3  12558  nndivdvds  12563  modmulconst  12590  dvdsle  12611  dvdsssfz1  12619  fzm1ndvds  12623  dvdsfac  12627  oexpneg  12644  nnoddm1d2  12677  divalg2  12693  divalgmod  12694  modremain  12696  ndvdsadd  12698  nndvdslegcd  12742  divgcdz  12748  divgcdnn  12752  divgcdnnr  12753  modgcd  12768  gcddiv  12796  gcdmultiple  12797  gcdmultiplez  12798  gcdzeq  12799  gcdeq  12800  rpmulgcd  12803  rplpwr  12804  rppwr  12805  sqgcd  12806  dvdssqlem  12807  dvdssq  12808  eucalginv  12834  lcmgcdlem  12855  lcmgcdnn  12860  lcmass  12863  coprmgcdb  12866  qredeq  12874  qredeu  12875  cncongr1  12881  cncongr2  12882  1idssfct  12893  isprm2lem  12894  isprm3  12896  isprm4  12897  prmind2  12898  prmdc  12908  divgcdodd  12921  isprm6  12925  sqrt2irr  12940  pw2dvds  12944  sqrt2irraplemnn  12957  divnumden  12974  divdenle  12975  nn0gcdsq  12978  phivalfi  12990  phicl2  12992  phiprmpw  13000  hashgcdlem  13016  dvdsfi  13017  hashgcdeq  13018  phisum  13019  nnoddn2prm  13039  pythagtriplem2  13045  pythagtriplem3  13046  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem6  13049  pythagtriplem7  13050  pythagtriplem8  13051  pythagtriplem9  13052  pythagtriplem11  13053  pythagtriplem13  13055  pythagtriplem15  13057  pythagtriplem19  13061  pythagtrip  13062  pceu  13074  pccl  13078  pcdiv  13081  pcqcl  13085  pcdvds  13094  pcndvds  13096  pcndvds2  13098  pcelnn  13100  pcz  13111  pcmpt  13122  fldivp1  13127  pcfac  13129  infpnlem1  13138  infpnlem2  13139  prmunb  13141  1arith  13146  ballotfilemiex  13244  oddennn  13283  evenennn  13284  unennn  13288  mulgnn  13929  mulgnngzsum  13930  mulgaddcom  13949  mulginvcom  13950  mulgmodid  13964  ghmmulg  14059  mulgass2  14363  znfi  14990  znhash  14991  znidomb  14993  znrrg  14995  rpcxproot  16016  logbgcd1irr  16069  birthdaylem1g  16087  birthdaylem2  16088  birthdaylem3  16089  sgmnncl  16102  lgsval  16123  lgsval4a  16141  lgssq2  16160  gausslemma2dlem0c  16170  gausslemma2dlem0e  16172  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem3  16182  gausslemma2dlem5  16185  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquad3  16203  2lgslem1a1  16205  2lgslem3  16220  2lgsoddprm  16232  trilpolemcl  17086