Theorem nnz 9488

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9486	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3221	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   NNcn 9133   ZZcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470

This theorem is referenced by:  elnnz1  9492  znegcl  9500  nnnle0  9518  nnleltp1  9529  nnltp1le  9530  elz2  9541  nnlem1lt  9554  nnltlem1  9555  nnm1ge0  9556  prime  9569  nneo  9573  zeo  9575  btwnz  9589  indstr  9817  eluz2b2  9827  elnn1uz2  9831  qaddcl  9859  qreccl  9866  elpqb  9874  elfz1end  10280  fznatpl1  10301  fznn  10314  elfz1b  10315  elfzo0  10411  fzo1fzo0n0  10412  elfzo0z  10413  elfzo1  10420  ubmelm1fzo  10461  intfracq  10572  zmodcl  10596  zmodfz  10598  zmodfzo  10599  zmodid2  10604  zmodidfzo  10605  modfzo0difsn  10647  mulexpzap  10831  nnesq  10911  expnlbnd  10916  expnlbnd2  10917  nn0ltexp2  10961  facdiv  10990  faclbnd  10993  bc0k  11008  bcval5  11015  seq3coll  11096  ccatval21sw  11172  caucvgrelemcau  11531  resqrexlemlo  11564  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemgt0  11571  absexpzap  11631  climuni  11844  fsum3  11938  arisum  12049  trireciplem  12051  expcnvap0  12053  geo2sum  12065  geo2lim  12067  0.999...  12072  geoihalfsum  12073  cvgratz  12083  zproddc  12130  fprodseq  12134  prod1dc  12137  dvdsval3  12342  nndivdvds  12347  modmulconst  12374  dvdsle  12395  dvdsssfz1  12403  fzm1ndvds  12407  dvdsfac  12411  oexpneg  12428  nnoddm1d2  12461  divalg2  12477  divalgmod  12478  modremain  12480  ndvdsadd  12482  nndvdslegcd  12526  divgcdz  12532  divgcdnn  12536  divgcdnnr  12537  modgcd  12552  gcddiv  12580  gcdmultiple  12581  gcdmultiplez  12582  gcdzeq  12583  gcdeq  12584  rpmulgcd  12587  rplpwr  12588  rppwr  12589  sqgcd  12590  dvdssqlem  12591  dvdssq  12592  eucalginv  12618  lcmgcdlem  12639  lcmgcdnn  12644  lcmass  12647  coprmgcdb  12650  qredeq  12658  qredeu  12659  cncongr1  12665  cncongr2  12666  1idssfct  12677  isprm2lem  12678  isprm3  12680  isprm4  12681  prmind2  12682  prmdc  12692  divgcdodd  12705  isprm6  12709  sqrt2irr  12724  pw2dvds  12728  sqrt2irraplemnn  12741  divnumden  12758  divdenle  12759  nn0gcdsq  12762  phivalfi  12774  phicl2  12776  phiprmpw  12784  hashgcdlem  12800  dvdsfi  12801  hashgcdeq  12802  phisum  12803  nnoddn2prm  12823  pythagtriplem2  12829  pythagtriplem3  12830  pythagtriplem4  12831  pythagtriplem6  12833  pythagtriplem7  12834  pythagtriplem8  12835  pythagtriplem9  12836  pythagtriplem11  12837  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem15  12841  pythagtriplem19  12845  pythagtrip  12846  pceu  12858  pccl  12862  pcdiv  12865  pcqcl  12869  pcdvds  12878  pcndvds  12880  pcndvds2  12882  pcelnn  12884  pcz  12895  pcmpt  12906  fldivp1  12911  pcfac  12913  infpnlem1  12922  infpnlem2  12923  prmunb  12925  1arith  12930  oddennn  13003  evenennn  13004  unennn  13008  mulgnn  13703  mulgnngsum  13704  mulgaddcom  13723  mulginvcom  13724  mulgmodid  13738  ghmmulg  13833  mulgass2  14061  znfi  14659  znhash  14660  znidomb  14662  znrrg  14664  rpcxproot  15628  logbgcd1irr  15681  sgmnncl  15702  lgsval  15723  lgsval4a  15741  lgssq2  15760  gausslemma2dlem0c  15770  gausslemma2dlem0e  15772  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem5  15785  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquad3  15803  2lgslem1a1  15805  2lgslem3  15820  2lgsoddprm  15832  trilpolemcl  16577