Theorem nnz 9391

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9389	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3189	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   NNcn 9036   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-z 9373

This theorem is referenced by:  elnnz1  9395  znegcl  9403  nnnle0  9421  nnleltp1  9432  nnltp1le  9433  elz2  9444  nnlem1lt  9457  nnltlem1  9458  nnm1ge0  9459  prime  9472  nneo  9476  zeo  9478  btwnz  9492  indstr  9714  eluz2b2  9724  elnn1uz2  9728  qaddcl  9756  qreccl  9763  elpqb  9771  elfz1end  10177  fznatpl1  10198  fznn  10211  elfz1b  10212  elfzo0  10306  fzo1fzo0n0  10307  elfzo0z  10308  elfzo1  10314  ubmelm1fzo  10355  intfracq  10465  zmodcl  10489  zmodfz  10491  zmodfzo  10492  zmodid2  10497  zmodidfzo  10498  modfzo0difsn  10540  mulexpzap  10724  nnesq  10804  expnlbnd  10809  expnlbnd2  10810  nn0ltexp2  10854  facdiv  10883  faclbnd  10886  bc0k  10901  bcval5  10908  seq3coll  10987  ccatval21sw  11061  caucvgrelemcau  11291  resqrexlemlo  11324  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemgt0  11331  absexpzap  11391  climuni  11604  fsum3  11698  arisum  11809  trireciplem  11811  expcnvap0  11813  geo2sum  11825  geo2lim  11827  0.999...  11832  geoihalfsum  11833  cvgratz  11843  zproddc  11890  fprodseq  11894  prod1dc  11897  dvdsval3  12102  nndivdvds  12107  modmulconst  12134  dvdsle  12155  dvdsssfz1  12163  fzm1ndvds  12167  dvdsfac  12171  oexpneg  12188  nnoddm1d2  12221  divalg2  12237  divalgmod  12238  modremain  12240  ndvdsadd  12242  nndvdslegcd  12286  divgcdz  12292  divgcdnn  12296  divgcdnnr  12297  modgcd  12312  gcddiv  12340  gcdmultiple  12341  gcdmultiplez  12342  gcdzeq  12343  gcdeq  12344  rpmulgcd  12347  rplpwr  12348  rppwr  12349  sqgcd  12350  dvdssqlem  12351  dvdssq  12352  eucalginv  12378  lcmgcdlem  12399  lcmgcdnn  12404  lcmass  12407  coprmgcdb  12410  qredeq  12418  qredeu  12419  cncongr1  12425  cncongr2  12426  1idssfct  12437  isprm2lem  12438  isprm3  12440  isprm4  12441  prmind2  12442  prmdc  12452  divgcdodd  12465  isprm6  12469  sqrt2irr  12484  pw2dvds  12488  sqrt2irraplemnn  12501  divnumden  12518  divdenle  12519  nn0gcdsq  12522  phivalfi  12534  phicl2  12536  phiprmpw  12544  hashgcdlem  12560  dvdsfi  12561  hashgcdeq  12562  phisum  12563  nnoddn2prm  12583  pythagtriplem2  12589  pythagtriplem3  12590  pythagtriplem4  12591  pythagtriplem6  12593  pythagtriplem7  12594  pythagtriplem8  12595  pythagtriplem9  12596  pythagtriplem11  12597  pythagtriplem13  12599  pythagtriplem15  12601  pythagtriplem19  12605  pythagtrip  12606  pceu  12618  pccl  12622  pcdiv  12625  pcqcl  12629  pcdvds  12638  pcndvds  12640  pcndvds2  12642  pcelnn  12644  pcz  12655  pcmpt  12666  fldivp1  12671  pcfac  12673  infpnlem1  12682  infpnlem2  12683  prmunb  12685  1arith  12690  oddennn  12763  evenennn  12764  unennn  12768  mulgnn  13462  mulgnngsum  13463  mulgaddcom  13482  mulginvcom  13483  mulgmodid  13497  ghmmulg  13592  mulgass2  13820  znfi  14417  znhash  14418  znidomb  14420  znrrg  14422  rpcxproot  15386  logbgcd1irr  15439  sgmnncl  15460  lgsval  15481  lgsval4a  15499  lgssq2  15518  gausslemma2dlem0c  15528  gausslemma2dlem0e  15530  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem3  15540  gausslemma2dlem5  15543  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquad3  15561  2lgslem1a1  15563  2lgslem3  15578  2lgsoddprm  15590  trilpolemcl  15976