Theorem nnz 9596

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9594	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3234	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   NNcn 9237   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578

This theorem is referenced by:  elnnz1  9600  znegcl  9608  nnnle0  9626  nnleltp1  9637  nnltp1le  9638  elz2  9649  nnlem1lt  9662  nnltlem1  9663  nnm1ge0  9664  prime  9677  nneo  9681  zeo  9683  btwnz  9697  indstr  9925  eluz2b2  9935  elnn1uz2  9939  qaddcl  9967  qreccl  9974  elpqb  9982  elfz1end  10389  fznatpl1  10410  fznn  10423  elfz1b  10424  elfzo0  10520  fzo1fzo0n0  10522  elfzo0z  10523  elfzo1  10530  ubmelm1fzo  10571  intfracq  10682  zmodcl  10706  zmodfz  10708  zmodfzo  10709  zmodid2  10714  zmodidfzo  10715  modfzo0difsn  10757  mulexpzap  10941  nnesq  11021  expnlbnd  11026  expnlbnd2  11027  nn0ltexp2  11071  facdiv  11100  faclbnd  11103  bc0k  11118  bcval5  11125  bcm1n  11131  seq3coll  11212  ccatval21sw  11291  caucvgrelemcau  11663  resqrexlemlo  11696  resqrexlemcalc3  11699  resqrexlemgt0  11703  absexpzap  11763  climuni  11976  fsum3  12071  arisum  12182  trireciplem  12184  expcnvap0  12186  geo2sum  12198  geo2lim  12200  0.999...  12205  geoihalfsum  12206  cvgratz  12216  zproddc  12263  fprodseq  12267  prod1dc  12270  dvdsval3  12475  nndivdvds  12480  modmulconst  12507  dvdsle  12528  dvdsssfz1  12536  fzm1ndvds  12540  dvdsfac  12544  oexpneg  12561  nnoddm1d2  12594  divalg2  12610  divalgmod  12611  modremain  12613  ndvdsadd  12615  nndvdslegcd  12659  divgcdz  12665  divgcdnn  12669  divgcdnnr  12670  modgcd  12685  gcddiv  12713  gcdmultiple  12714  gcdmultiplez  12715  gcdzeq  12716  gcdeq  12717  rpmulgcd  12720  rplpwr  12721  rppwr  12722  sqgcd  12723  dvdssqlem  12724  dvdssq  12725  eucalginv  12751  lcmgcdlem  12772  lcmgcdnn  12777  lcmass  12780  coprmgcdb  12783  qredeq  12791  qredeu  12792  cncongr1  12798  cncongr2  12799  1idssfct  12810  isprm2lem  12811  isprm3  12813  isprm4  12814  prmind2  12815  prmdc  12825  divgcdodd  12838  isprm6  12842  sqrt2irr  12857  pw2dvds  12861  sqrt2irraplemnn  12874  divnumden  12891  divdenle  12892  nn0gcdsq  12895  phivalfi  12907  phicl2  12909  phiprmpw  12917  hashgcdlem  12933  dvdsfi  12934  hashgcdeq  12935  phisum  12936  nnoddn2prm  12956  pythagtriplem2  12962  pythagtriplem3  12963  pythagtriplem4  12964  pythagtriplem6  12966  pythagtriplem7  12967  pythagtriplem8  12968  pythagtriplem9  12969  pythagtriplem11  12970  pythagtriplem13  12972  pythagtriplem15  12974  pythagtriplem19  12978  pythagtrip  12979  pceu  12991  pccl  12995  pcdiv  12998  pcqcl  13002  pcdvds  13011  pcndvds  13013  pcndvds2  13015  pcelnn  13017  pcz  13028  pcmpt  13039  fldivp1  13044  pcfac  13046  infpnlem1  13055  infpnlem2  13056  prmunb  13058  1arith  13063  oddennn  13141  evenennn  13142  unennn  13146  mulgnn  13841  mulgnngsum  13842  mulgaddcom  13861  mulginvcom  13862  mulgmodid  13876  ghmmulg  13971  mulgass2  14200  znfi  14801  znhash  14802  znidomb  14804  znrrg  14806  rpcxproot  15777  logbgcd1irr  15830  sgmnncl  15854  lgsval  15875  lgsval4a  15893  lgssq2  15912  gausslemma2dlem0c  15922  gausslemma2dlem0e  15924  gausslemma2dlem1a  15929  gausslemma2dlem3  15934  gausslemma2dlem5  15937  lgsquadlem1  15948  lgsquadlem2  15949  lgsquad3  15955  2lgslem1a1  15957  2lgslem3  15972  2lgsoddprm  15984  trilpolemcl  16819