Theorem nnz 9668

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	|- ( N e. NN -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9666	. 2 |- NN C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9307   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650

This theorem is used by:  elnnz1  9672  znegcl  9680  nnnle0  9698  nnleltp1  9709  nnltp1le  9710  elz2  9721  nnlem1lt  9735  nnltlem1  9736  nnm1ge0  9737  prime  9750  nneo  9754  zeo  9756  btwnz  9770  indstr  10003  eluz2b2  10013  elnn1uz2  10017  qaddcl  10045  qreccl  10052  elpqb  10061  elfz1end  10472  fznatpl1  10494  fznn  10507  elfz1b  10508  elfzo0  10604  fzo1fzo0n0  10606  elfzo0z  10607  elfzo1  10614  ubmelm1fzo  10655  intfracq  10772  zmodcl  10796  zmodfz  10798  zmodfzo  10799  zmodid2  10804  zmodidfzo  10805  modfzo0difsn  10847  mulexpzap  11031  nnesq  11112  expnlbnd  11117  expnlbnd2  11118  nn0ltexp2  11163  facdiv  11192  faclbnd  11195  bc0k  11210  bcval5  11217  bcm1n  11223  seq3coll  11310  ccatval21sw  11389  caucvgrelemcau  11762  resqrexlemlo  11795  resqrexlemcalc3  11798  resqrexlemgt0  11802  absexpzap  11863  climuni  12078  fsum3  12173  arisum  12284  trireciplem  12286  expcnvap0  12288  geo2sum  12300  geo2lim  12302  0.999...  12307  geoihalfsum  12308  cvgratz  12318  zproddc  12365  fprodseq  12369  prod1dc  12372  dvdsval3  12577  nndivdvds  12582  modmulconst  12609  dvdsle  12630  dvdsssfz1  12638  fzm1ndvds  12642  dvdsfac  12646  oexpneg  12663  nnoddm1d2  12696  divalg2  12712  divalgmod  12713  modremain  12715  ndvdsadd  12717  nndvdslegcd  12761  divgcdz  12767  divgcdnn  12771  divgcdnnr  12772  modgcd  12787  gcddiv  12815  gcdmultiple  12816  gcdmultiplez  12817  gcdzeq  12818  gcdeq  12819  rpmulgcd  12822  rplpwr  12823  rppwr  12824  sqgcd  12825  dvdssqlem  12826  dvdssq  12827  eucalginv  12853  lcmgcdlem  12874  lcmgcdnn  12879  lcmass  12882  coprmgcdb  12885  qredeq  12893  qredeu  12894  cncongr1  12900  cncongr2  12901  1idssfct  12912  isprm2lem  12913  isprm3  12915  isprm4  12916  prmind2  12917  prmdc  12927  divgcdodd  12941  isprm6  12945  sqrt2irr  12960  sqrt2irraplemnn  12978  divnumden  12995  divdenle  12996  nn0gcdsq  12999  phivalfi  13013  phicl2  13015  phiprmpw  13023  hashgcdlem  13039  dvdsfi  13040  hashgcdeq  13041  phisum  13042  nnoddn2prm  13062  pythagtriplem2  13068  pythagtriplem3  13069  pythagtriplem4  13070  pythagtriplem6  13072  pythagtriplem7  13073  pythagtriplem8  13074  pythagtriplem9  13075  pythagtriplem11  13076  pythagtriplem13  13078  pythagtriplem15  13080  pythagtriplem19  13084  pythagtrip  13085  pceu  13097  pccl  13101  pcdiv  13104  pcqcl  13108  pcdvds  13117  pcndvds  13119  pcndvds2  13121  pcelnn  13123  pcz  13134  pcmpt  13145  fldivp1  13150  pcfac  13152  infpnlem1  13161  infpnlem2  13162  prmunb  13164  1arith  13169  ballotfilemiex  13296  oddennn  13335  evenennn  13336  unennn  13340  mulgnn  13982  mulgnngzsum  13983  mulgaddcom  14002  mulginvcom  14003  mulgmodid  14017  ghmmulg  14112  mulgass2  14447  znfi  15074  znhash  15075  znidomb  15077  znrrg  15079  rpcxproot  16111  logbgcd1irr  16164  birthdaylem1g  16186  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  prmdvdsfi  16204  sgmnncl  16218  prmorcht  16243  chtublem  16256  pcbcctr  16264  bclbnd  16268  bposlem1  16272  bposlem5  16276  bpos  16281  lgsval  16289  lgsval4a  16307  lgssq2  16326  gausslemma2dlem0c  16336  gausslemma2dlem0e  16338  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem5  16351  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquad3  16369  2lgslem1a1  16371  2lgslem3  16386  2lgsoddprm  16398  trilpolemcl  17253