Theorem elfznn 10460

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10428	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10431	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9667	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   1c1 8180   <_ cle 8361   NNcn 9304   ZZcz 9644   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfz1end  10461  fz1ssnn  10462  fzossnn  10602  nninfdcex  10672  bcm1k  11198  bcpasc  11204  seq3coll  11294  pfxfv0  11464  pfxfvlsw  11467  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  fsum3  12154  isumz  12156  fsumcl2lem  12165  binomlem  12250  arisum2  12266  trireciplem  12267  geo2sum  12281  cvgratnnlemsumlt  12295  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  prod1dc  12353  fzm1ndvds  12623  nnmindc  12811  nnminle  12812  phicl  12993  eulerthlemrprm  13007  prmdivdiv  13015  dvdsfi  13017  odzcllem  13021  odzdvds  13024  modprm0  13033  pcfac  13129  pcbc  13130  1arith  13146  4sqlem13m  13182  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  4sqlem18  13187  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemic  13250  ballotfilem1c  13251  ballotfilemsel1i  13256  ballotfilemsf1o  13257  mulgnngzsum  13930  mulgnn0z  13952  mulgnndir  13954  dvply1  15866  birthdaylem2  16088  wilthlem1  16094  lgsval2lem  16129  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlemsfi  16194  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  2lgslem1a1  16205  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemlt1  17090  nconstwlpolemgt0  17114