Theorem elfznn 10054

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10025	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10027	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9276	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   1c1 7812   <_ cle 7993   NNcn 8919   ZZcz 9253   ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  elfz1end  10055  fz1ssnn  10056  fzossnn  10189  bcm1k  10740  bcpasc  10746  seq3coll  10822  summodclem3  11388  summodclem2a  11389  fsum3  11395  isumz  11397  fsumcl2lem  11406  binomlem  11491  arisum2  11507  trireciplem  11508  geo2sum  11522  cvgratnnlemsumlt  11536  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  fprodseq  11591  prod1dc  11594  fzm1ndvds  11862  nninfdcex  11954  nnmindc  12035  nnminle  12036  phicl  12215  eulerthlemrprm  12229  prmdivdiv  12237  phisum  12240  odzcllem  12242  odzdvds  12245  modprm0  12254  pcfac  12348  pcbc  12349  1arith  12365  mulgnn0z  13010  mulgnndir  13012  lgsval2lem  14414  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  cvgcmp2nlemabs  14783  trilpolemlt1  14792  nconstwlpolemgt0  14814