Theorem elfznn 10211

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10182	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10184	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9430	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   1c1 7961   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  elfz1end  10212  fz1ssnn  10213  fzossnn  10350  nninfdcex  10417  bcm1k  10942  bcpasc  10948  seq3coll  11024  pfxfv0  11183  pfxfvlsw  11186  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  fsum3  11813  isumz  11815  fsumcl2lem  11824  binomlem  11909  arisum2  11925  trireciplem  11926  geo2sum  11940  cvgratnnlemsumlt  11954  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodseq  12009  prod1dc  12012  fzm1ndvds  12282  nnmindc  12470  nnminle  12471  phicl  12652  eulerthlemrprm  12666  prmdivdiv  12674  dvdsfi  12676  odzcllem  12680  odzdvds  12683  modprm0  12692  pcfac  12788  pcbc  12789  1arith  12805  4sqlem13m  12841  4sqlem14  12842  4sqlem17  12845  4sqlem18  12846  mulgnngsum  13578  mulgnn0z  13600  mulgnndir  13602  dvply1  15352  wilthlem1  15567  lgsval2lem  15602  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlemsfi  15667  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquadlem3  15671  2lgslem1a1  15678  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemlt1  16182  nconstwlpolemgt0  16205