Theorem elfznn 10176

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10147	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10149	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9395	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   1c1 7926   <_ cle 8108   NNcn 9036   ZZcz 9372   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  elfz1end  10177  fz1ssnn  10178  fzossnn  10313  nninfdcex  10380  bcm1k  10905  bcpasc  10911  seq3coll  10987  summodclem3  11691  summodclem2a  11692  fsum3  11698  isumz  11700  fsumcl2lem  11709  binomlem  11794  arisum2  11810  trireciplem  11811  geo2sum  11825  cvgratnnlemsumlt  11839  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  fprodseq  11894  prod1dc  11897  fzm1ndvds  12167  nnmindc  12355  nnminle  12356  phicl  12537  eulerthlemrprm  12551  prmdivdiv  12559  dvdsfi  12561  odzcllem  12565  odzdvds  12568  modprm0  12577  pcfac  12673  pcbc  12674  1arith  12690  4sqlem13m  12726  4sqlem14  12727  4sqlem17  12730  4sqlem18  12731  mulgnngsum  13463  mulgnn0z  13485  mulgnndir  13487  dvply1  15237  wilthlem1  15452  lgsval2lem  15487  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlemsfi  15552  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  2lgslem1a1  15563  cvgcmp2nlemabs  15975  trilpolemlt1  15984  nconstwlpolemgt0  16007