Theorem elfznn 10250

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10221	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10223	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9469	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   1c1 8000   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  elfz1end  10251  fz1ssnn  10252  fzossnn  10390  nninfdcex  10457  bcm1k  10982  bcpasc  10988  seq3coll  11064  pfxfv0  11224  pfxfvlsw  11227  summodclem3  11891  summodclem2a  11892  fsum3  11898  isumz  11900  fsumcl2lem  11909  binomlem  11994  arisum2  12010  trireciplem  12011  geo2sum  12025  cvgratnnlemsumlt  12039  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodseq  12094  prod1dc  12097  fzm1ndvds  12367  nnmindc  12555  nnminle  12556  phicl  12737  eulerthlemrprm  12751  prmdivdiv  12759  dvdsfi  12761  odzcllem  12765  odzdvds  12768  modprm0  12777  pcfac  12873  pcbc  12874  1arith  12890  4sqlem13m  12926  4sqlem14  12927  4sqlem17  12930  4sqlem18  12931  mulgnngsum  13664  mulgnn0z  13686  mulgnndir  13688  dvply1  15439  wilthlem1  15654  lgsval2lem  15689  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlemsfi  15754  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  2lgslem1a1  15765  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409  nconstwlpolemgt0  16432