Theorem elfznn 10262

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10233	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10235	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9480	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   1c1 8011   <_ cle 8193   NNcn 9121   ZZcz 9457   ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  elfz1end  10263  fz1ssnn  10264  fzossnn  10402  nninfdcex  10469  bcm1k  10994  bcpasc  11000  seq3coll  11077  pfxfv0  11240  pfxfvlsw  11243  summodclem3  11907  summodclem2a  11908  fsum3  11914  isumz  11916  fsumcl2lem  11925  binomlem  12010  arisum2  12026  trireciplem  12027  geo2sum  12041  cvgratnnlemsumlt  12055  prodmodclem3  12102  prodmodclem2a  12103  fprodseq  12110  prod1dc  12113  fzm1ndvds  12383  nnmindc  12571  nnminle  12572  phicl  12753  eulerthlemrprm  12767  prmdivdiv  12775  dvdsfi  12777  odzcllem  12781  odzdvds  12784  modprm0  12793  pcfac  12889  pcbc  12890  1arith  12906  4sqlem13m  12942  4sqlem14  12943  4sqlem17  12946  4sqlem18  12947  mulgnngsum  13680  mulgnn0z  13702  mulgnndir  13704  dvply1  15455  wilthlem1  15670  lgsval2lem  15705  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768  lgseisen  15769  lgsquadlemsfi  15770  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquadlem3  15774  2lgslem1a1  15781  cvgcmp2nlemabs  16488  trilpolemlt1  16497  nconstwlpolemgt0  16520