Theorem elfznn 10470

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10438	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 10441	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9671	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   1c1 8180   <_ cle 8361   NNcn 9306   ZZcz 9648   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfz1end  10471  fz1ssnn  10472  fzossnn  10612  nninfdcex  10682  bcm1k  11212  bcpasc  11218  seq3coll  11308  pfxfv0  11478  pfxfvlsw  11481  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  fsum3  12170  isumz  12172  fsumcl2lem  12181  binomlem  12266  arisum2  12282  trireciplem  12283  geo2sum  12297  cvgratnnlemsumlt  12311  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  fprodseq  12366  prod1dc  12369  fzm1ndvds  12639  nnmindc  12827  nnminle  12828  phicl  13013  eulerthlemrprm  13027  prmdivdiv  13035  dvdsfi  13037  odzcllem  13041  odzdvds  13044  modprm0  13053  pcfac  13149  pcbc  13150  1arith  13166  4sqlem13m  13202  4sqlem14  13203  4sqlem17  13206  4sqlem18  13207  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemic  13299  ballotfilem1c  13300  ballotfilemsel1i  13305  ballotfilemsf1o  13306  mulgnngzsum  13979  mulgnn0z  14001  mulgnndir  14003  dvply1  15915  birthdaylem2  16145  wilthlem1  16151  prmdvdsfi  16159  pcbcctr  16201  bposlem1  16209  bposlem2  16210  lgsval2lem  16227  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlemsfi  16292  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  2lgslem1a1  16303  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemlt1  17188  nconstwlpolemgt0  17212