Theorem elfznn 9963

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 9935	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
2		elfzle1 9936	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ K )
3		elnnz1 9196	. 2 |- ( K e. NN <-> ( K e. ZZ /\ 1 <_ K ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 414	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827   1c1 7736   <_ cle 7916   NNcn 8839   ZZcz 9173   ...cfz 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920

This theorem is referenced by:  elfz1end  9964  fz1ssnn  9965  fzossnn  10098  bcm1k  10646  bcpasc  10652  seq3coll  10725  summodclem3  11289  summodclem2a  11290  fsum3  11296  isumz  11298  fsumcl2lem  11307  binomlem  11392  arisum2  11408  trireciplem  11409  geo2sum  11423  cvgratnnlemsumlt  11437  prodmodclem3  11484  prodmodclem2a  11485  fprodseq  11492  prod1dc  11495  fzm1ndvds  11761  nninfdcex  11853  phicl  12106  eulerthlemrprm  12120  prmdivdiv  12128  phisum  12131  odzcllem  12133  odzdvds  12136  modprm0  12145  nnmindc  12273  nnminle  12274  cvgcmp2nlemabs  13700  trilpolemlt1  13709  nconstwlpolemgt0  13731