ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1end GIF version

Theorem elfz1end 10052
Description: A nonempty finite range of integers contains its end point. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elfz1end (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))

Proof of Theorem elfz1end
StepHypRef Expression
1 elnnuz 9562 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
21biimpi 120 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
3 nnz 9270 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4 uzid 9540 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
53, 4syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
6 eluzfz 10017 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
72, 5, 6syl2anc 411 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
8 elfznn 10051 . 2 (𝐴 ∈ (1...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
97, 8impbii 126 1 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wcel 2148  cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811  cn 8917  cz 9251  cuz 9526  ...cfz 10006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007
This theorem is referenced by:  prmind2  12114  2sqlem10  14354
  Copyright terms: Public domain W3C validator