Theorem elfzom1b 10178

Description: An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1b	|- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem elfzom1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9243	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		elfzm1b 10047	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
3	1, 2	sylan2 284	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
4		fzoval 10097	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2240	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> K e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
7	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
8		fzoval 10097	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) )
10	9	eleq2d 2240	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 219	1 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5851   0cc0 7767   1c1 7768   - cmin 8083   ZZcz 9205   ...cfz 9958  ..^cfzo 10091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092

This theorem is referenced by: (None)