Theorem fzofzp1b 9788

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1b	|- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ B ) <-> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) )

Proof of Theorem fzofzp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofzp1 9787	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )
2		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
3		eluzelz 9127	. . . . . 6 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ZZ )
4		elfzuz3 9586	. . . . . 6 |- ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) )
5		eluzp1m1 9141	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 284	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
7		elfzuzb 9583	. . . . 5 |- ( C e. ( A ... ( B - 1 ) ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 409	. . . 4 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( A ... ( B - 1 ) ) )
9		elfzel2 9587	. . . . . 6 |- ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> B e. ZZ )
10	9	adantl 272	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> B e. ZZ )
11		fzoval 9708	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
13	8, 12	eleqtrrd 2174	. . 3 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( A..^ B ) )
14	13	ex 114	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> C e. ( A..^ B ) ) )
15	1, 14	impbid2 142	1 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ B ) <-> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1296   e. wcel 1445   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   1c1 7448   + caddc 7450   - cmin 7750   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573  ..^cfzo 9702

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703

This theorem is referenced by: (None)