ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzofzp1b Unicode version

Theorem fzofzp1b 10177
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1b  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )

Proof of Theorem fzofzp1b
StepHypRef Expression
1 fzofzp1 10176 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )
2 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A ) )
3 eluzelz 9489 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  C  e.  ZZ )
4 elfzuz3 9971 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )
5 eluzp1m1 9503 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
7 elfzuzb 9968 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( A ... ( B  -  1
) )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 415 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
9 elfzel2 9972 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ZZ )
109adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 fzoval 10097 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1
) ) )
138, 12eleqtrrd 2250 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A..^ B ) )
1413ex 114 . 2  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  C  e.  ( A..^ B ) ) )
151, 14impbid2 142 1  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   1c1 7768    + caddc 7770    - cmin 8083   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480   ...cfz 9958  ..^cfzo 10091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator