ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzofzp1b Unicode version

Theorem fzofzp1b 10258
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1b  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )

Proof of Theorem fzofzp1b
StepHypRef Expression
1 fzofzp1 10257 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )
2 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A ) )
3 eluzelz 9567 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  C  e.  ZZ )
4 elfzuz3 10052 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )
5 eluzp1m1 9581 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
7 elfzuzb 10049 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( A ... ( B  -  1
) )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
9 elfzel2 10053 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ZZ )
109adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 fzoval 10178 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1
) ) )
138, 12eleqtrrd 2269 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A..^ B ) )
1413ex 115 . 2  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  C  e.  ( A..^ B ) ) )
151, 14impbid2 143 1  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1c1 7842    + caddc 7844    - cmin 8158   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038  ..^cfzo 10172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-fzo 10173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator