Theorem fzofzp1b 10231

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1b	|- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ B ) <-> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) )

Proof of Theorem fzofzp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofzp1 10230	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
3		eluzelz 9540	. . . . . 6 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ZZ )
4		elfzuz3 10025	. . . . . 6 |- ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) )
5		eluzp1m1 9554	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
7		elfzuzb 10022	. . . . 5 |- ( C e. ( A ... ( B - 1 ) ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( A ... ( B - 1 ) ) )
9		elfzel2 10026	. . . . . 6 |- ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> B e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> B e. ZZ )
11		fzoval 10151	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
13	8, 12	eleqtrrd 2257	. . 3 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) -> C e. ( A..^ B ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( C + 1 ) e. ( A ... B ) -> C e. ( A..^ B ) ) )
15	1, 14	impbid2 143	1 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ B ) <-> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   1c1 7815   + caddc 7817   - cmin 8131   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531   ...cfz 10011  ..^cfzo 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-fzo 10146

This theorem is referenced by: (None)