Theorem elfzonelfzo 10300

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10219	. . 3 |- ( K e. ( M..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9604	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4	3	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> K e. ZZ )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7		eluzel2 9600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		elfzo 10218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
12		eluzle 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M <_ K )
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> K < N ) )
16	15	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. K < N ) )
17	9	zred 9442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18	6	zred 9442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
19	17, 18	lenltd 8139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> N <_ K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
24	23	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
25	24	imp31 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N <_ K )
26		eluz2 9601	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
28		simpll2 1039	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29		simpll3 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K < R )
30		elfzo2 10219	. . . . 5 |- ( K e. ( N..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( N..^ R ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
33	1, 32	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
34	33	com12 30	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   < clt 8056   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by: (None)