Theorem elfzonelfzo 10249

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10169	. . 3 |- ( K e. ( M..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9556	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4	3	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> K e. ZZ )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7		eluzel2 9552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		elfzo 10168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
12		eluzle 9559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M <_ K )
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> K < N ) )
16	15	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. K < N ) )
17	9	zred 9394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18	6	zred 9394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
19	17, 18	lenltd 8094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> N <_ K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
24	23	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
25	24	imp31 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N <_ K )
26		eluz2 9553	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
28		simpll2 1039	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29		simpll3 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K < R )
30		elfzo2 10169	. . . . 5 |- ( K e. ( N..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( N..^ R ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
33	1, 32	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
34	33	com12 30	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   < clt 8011   <_ cle 8012   ZZcz 9272   ZZ>=cuz 9547  ..^cfzo 10161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-fzo 10162

This theorem is referenced by: (None)