Theorem elfzonelfzo 10243

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10163	. . 3 |- ( K e. ( M..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9550	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4	3	3ad2ant1 1019	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> K e. ZZ )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7		eluzel2 9546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		elfzo 10162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
12		eluzle 9553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M <_ K )
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> K < N ) )
16	15	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. K < N ) )
17	9	zred 9388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18	6	zred 9388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
19	17, 18	lenltd 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> N <_ K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
24	23	3ad2ant1 1019	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
25	24	imp31 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N <_ K )
26		eluz2 9547	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1182	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
28		simpll2 1038	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29		simpll3 1039	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K < R )
30		elfzo2 10163	. . . . 5 |- ( K e. ( N..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1182	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( N..^ R ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
33	1, 32	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
34	33	com12 30	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   < clt 8005   <_ cle 8006   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by: (None)