Theorem elfzonelfzo 10538

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10447	. . 3 |- ( K e. ( M..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9826	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> K e. ZZ )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7		eluzel2 9821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		elfzo 10446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
12		eluzle 9829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M <_ K )
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> K < N ) )
16	15	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. K < N ) )
17	9	zred 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18	6	zred 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
19	17, 18	lenltd 8356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> N <_ K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
24	23	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
25	24	imp31 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N <_ K )
26		eluz2 9822	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1208	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
28		simpll2 1064	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29		simpll3 1065	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K < R )
30		elfzo2 10447	. . . . 5 |- ( K e. ( N..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( N..^ R ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
33	1, 32	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
34	33	com12 30	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   < clt 8273   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem4  11373  pfxccatin12lem2a  11374  pfxccatin12lem1  11375