Theorem elfzonelfzo 10575

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10484	. . 3 |- ( K e. ( M..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9863	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> K e. ZZ )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7		eluzel2 9858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		elfzo 10483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
12		eluzle 9866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> M <_ K )
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> K < N ) )
16	15	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. K < N ) )
17	9	zred 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18	6	zred 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
19	17, 18	lenltd 8391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> N <_ K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ZZ -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> N <_ K ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
24	23	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) -> ( N e. ZZ -> N <_ K ) ) )
25	24	imp31 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> N <_ K )
26		eluz2 9859	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) )
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1208	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( ZZ>= ` N ) )
28		simpll2 1064	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29		simpll3 1065	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K < R )
30		elfzo2 10484	. . . . 5 |- ( K e. ( N..^ R ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` N ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) /\ N e. ZZ ) -> K e. ( N..^ R ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ R e. ZZ /\ K < R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
33	1, 32	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> K e. ( N..^ R ) ) )
34	33	com12 30	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ( M..^ R ) /\ -. K e. ( M..^ N ) ) -> K e. ( N..^ R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   < clt 8308   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem4  11418  pfxccatin12lem2a  11419  pfxccatin12lem1  11420