ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo Unicode version

Theorem elfzonelfzo 9947
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9867 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
2 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 9284 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
433ad2ant1 985 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  K  e.  ZZ )
54ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
63adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
7 eluzel2 9280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
10 elfzo 9866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
116, 8, 9, 10syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
12 eluzle 9287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
1312adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  <_  K )
1413biantrurd 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
1511, 14bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  K  <  N ) )
1615notbid 639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  -.  K  <  N ) )
179zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
186zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1917, 18lenltd 7844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  -.  K  <  N ) )
2016, 19bitr4d 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  N  <_  K ) )
2120biimpd 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) )
2221ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
24233ad2ant1 985 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
2524imp31 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  <_  K )
26 eluz2 9281 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
272, 5, 25, 26syl3anbrc 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
28 simpll2 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  ZZ )
29 simpll3 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  <  R )
30 elfzo2 9867 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( N..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
3127, 28, 29, 30syl3anbrc 1148 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( N..^ R ) )
3231ex 114 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
331, 32sylanb 280 . 2  |-  ( ( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
3433com12 30 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    < clt 7764    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275  ..^cfzo 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator