Theorem elicc2i 9885

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elicc2i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		elicc2 9884	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 424	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℝcr 7762   ≤ cle 7944  [,]cicc 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-icc 9841

This theorem is referenced by:  0elunit  9932  1elunit  9933  divelunit  9948  lincmb01cmp  9949  iccf1o  9950  sinbnd2  11706  cosbnd2  11707  coseq00topi  13511  coseq0negpitopi  13512  cosordlem  13525  cosq34lt1  13526  cos02pilt1  13527  cos11  13529