Theorem elmapd 6909

Description: Deduction form of elmapg 6908. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 6908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  ⟶wf 5353  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897

This theorem is referenced by:  elmapssres  6920  mapsnd  6936  mapss  6939  pw2f1odclem  7100  mapen  7112  mapxpen  7114  mapunen  7117  2omap  7282  fodjuf  7449  ismkvnex  7459  wrdval  11255  ptex  13564  ismhm  13719  psrelbas  14959  psraddcl  14964  psr0cl  14965  psrnegcl  14967  psr1clfi  14972  mplsubgfilemm  14982  mplsubgfilemcl  14983  cnpdis  15236  plycj  15755  bj-charfunbi  16720  pw1map  16908  nninfself  16930  isomninnlem  16953  trilpolemlt1  16964  iswomninnlem  16973  iswomni0  16975  ismkvnnlem  16976