Theorem elmapd 6556

Description: Deduction form of elmapg 6555. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 6555	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  ⟶wf 5119  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by:  elmapssres  6567  mapss  6585  mapen  6740  mapxpen  6742  fodjuf  7017  ismkvnex  7029  cnpdis  12411  nninfself  13209  isomninnlem  13225  trilpolemlt1  13234