Theorem fodjuf 7475

Description: Lemma for fodjuomni 7479 and fodjumkv 7490. Domain and range of P. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	|- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
fodjuf.p	|- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
fodjuf.o	|- ( ph -> O e. V )

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	|- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   y, O, z   z, A   z, B   z, F

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)   P( y, z)   F( y)   V( y, z)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6704	. . . . 5 |- (/) e. 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> (/) e. 2o )
3		1lt2o 6705	. . . . 5 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> 1o e. 2o )
5		fodjuf.fo	. . . . 5 |- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
6	5	fodjuomnilemdc 7474	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> DECID E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3675	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) e. 2o )
8		fodjuf.p	. . 3 |- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	fmptd 5853	. 2 |- ( ph -> P : O --> 2o )
10		2onn 6784	. . . 4 |- 2o e. om
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2o e. om )
12		fodjuf.o	. . 3 |- ( ph -> O e. V )
13	11, 12	elmapd 6926	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m O ) <-> P : O --> 2o ) )
14	9, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   (/)c0 3520   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   omcom 4732   -->wf 5368   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912   ⊔ cdju 7367  inlcinl 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7478  fodjumkvlemres  7489