Theorem fodjuf 7436

Description: Lemma for fodjuomni 7440 and fodjumkv 7451. Domain and range of P. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	|- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
fodjuf.p	|- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
fodjuf.o	|- ( ph -> O e. V )

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	|- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   y, O, z   z, A   z, B   z, F

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)   P( y, z)   F( y)   V( y, z)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6674	. . . . 5 |- (/) e. 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> (/) e. 2o )
3		1lt2o 6675	. . . . 5 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> 1o e. 2o )
5		fodjuf.fo	. . . . 5 |- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
6	5	fodjuomnilemdc 7435	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> DECID E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3660	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) e. 2o )
8		fodjuf.p	. . 3 |- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	fmptd 5831	. 2 |- ( ph -> P : O --> 2o )
10		2onn 6754	. . . 4 |- 2o e. om
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2o e. om )
12		fodjuf.o	. . 3 |- ( ph -> O e. V )
13	11, 12	elmapd 6896	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m O ) <-> P : O --> 2o ) )
14	9, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   (/)c0 3508   ifcif 3620   |-> cmpt 4171   omcom 4712   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882   ⊔ cdju 7328  inlcinl 7336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7439  fodjumkvlemres  7450