Theorem fodjuf 7273

Description: Lemma for fodjuomni 7277 and fodjumkv 7288. Domain and range of P. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	|- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
fodjuf.p	|- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
fodjuf.o	|- ( ph -> O e. V )

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	|- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   y, O, z   z, A   z, B   z, F

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)   P( y, z)   F( y)   V( y, z)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6550	. . . . 5 |- (/) e. 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> (/) e. 2o )
3		1lt2o 6551	. . . . 5 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> 1o e. 2o )
5		fodjuf.fo	. . . . 5 |- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
6	5	fodjuomnilemdc 7272	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> DECID E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3617	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) e. 2o )
8		fodjuf.p	. . 3 |- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	fmptd 5757	. 2 |- ( ph -> P : O --> 2o )
10		2onn 6630	. . . 4 |- 2o e. om
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2o e. om )
12		fodjuf.o	. . 3 |- ( ph -> O e. V )
13	11, 12	elmapd 6772	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m O ) <-> P : O --> 2o ) )
14	9, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   (/)c0 3468   ifcif 3579   |-> cmpt 4121   omcom 4656   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   2oc2o 6519   ^m cmap 6758   ⊔ cdju 7165  inlcinl 7173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-2o 6526  df-map 6760  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7276  fodjumkvlemres  7287