Theorem fodjuf 7249

Description: Lemma for fodjuomni 7253 and fodjumkv 7264. Domain and range of P. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	|- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
fodjuf.p	|- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
fodjuf.o	|- ( ph -> O e. V )

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	|- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   y, O, z   z, A   z, B   z, F

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)   P( y, z)   F( y)   V( y, z)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6529	. . . . 5 |- (/) e. 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> (/) e. 2o )
3		1lt2o 6530	. . . . 5 |- 1o e. 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> 1o e. 2o )
5		fodjuf.fo	. . . . 5 |- ( ph -> F : O -onto-> ( A ⊔ B ) )
6	5	fodjuomnilemdc 7248	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> DECID E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) )
7	2, 4, 6	ifcldcd 3608	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. O ) -> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) e. 2o )
8		fodjuf.p	. . 3 |- P = ( y e. O |-> if ( E. z e. A ( F ` y ) = (inl ` z ) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	fmptd 5736	. 2 |- ( ph -> P : O --> 2o )
10		2onn 6609	. . . 4 |- 2o e. om
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2o e. om )
12		fodjuf.o	. . 3 |- ( ph -> O e. V )
13	11, 12	elmapd 6751	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m O ) <-> P : O --> 2o ) )
14	9, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   (/)c0 3460   ifcif 3571   |-> cmpt 4106   omcom 4639   -->wf 5268   -onto->wfo 5270   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   1oc1o 6497   2oc2o 6498   ^m cmap 6737   ⊔ cdju 7141  inlcinl 7149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-1o 6504  df-2o 6505  df-map 6739  df-dju 7142  df-inl 7151  df-inr 7152

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7252  fodjumkvlemres  7263