Theorem enqex 6898

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	⊢ ~Q ∈ V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 6850	. . . 4 ⊢ N ∈ V
2	1, 1	xpex 4541	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
3	2, 2	xpex 4541	. 2 ⊢ ((N × N) × (N × N)) ∈ V
4		df-enq 6885	. . 3 ⊢ ~Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 ∈ (N × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑤 ·N 𝑣)))}
5		opabssxp 4500	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 ∈ (N × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ ((N × N) × (N × N))
6	4, 5	eqsstri 3054	. 2 ⊢ ~Q ⊆ ((N × N) × (N × N))
7	3, 6	ssexi 3969	1 ⊢ ~Q ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1289  ∃wex 1426   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619  ⟨cop 3444  {copab 3890   × cxp 4426  (class class class)co 5634  Ncnpi 6810   ·_N cmi 6812   ~_Q ceq 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-opab 3892  df-iom 4396  df-xp 4434  df-ni 6842  df-enq 6885

This theorem is referenced by:  1nq  6904  addpipqqs  6908  mulpipqqs  6911  ordpipqqs  6912  addclnq  6913  mulclnq  6914  dmaddpq  6917  dmmulpq  6918  recexnq  6928  ltexnqq  6946  prarloclemarch  6956  prarloclemarch2  6957  nnnq  6960  nqpnq0nq  6991  prarloclemlt  7031  prarloclemlo  7032  prarloclemcalc  7040  nqprm  7080