Theorem nnnq 7795

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7688	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4808	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7733	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6867	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7721	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2332	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4774   1oc1o 6684   [cec 6809   /.cqs 6810   N.cnpi 7645   ~Q ceq 7652   Q.cnq 7653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-1o 6691  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-enq 7720  df-nqqs 7721

This theorem is used by:  recnnpr  7921  nnprlu  7926  archrecnq  8036  archrecpr  8037  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemm  8041  caucvgprlemopl  8042  caucvgprlemlol  8043  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemladdfu  8050  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgprprlemloccalc  8057  caucvgprprlemnkltj  8062  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemnjltk  8064  caucvgprprlemml  8067  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemexb  8080  caucvgprprlem1  8082  caucvgprprlem2  8083  pitonnlem2  8220  ltrennb  8227  recidpipr  8229