Theorem nnnq 7565

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7458	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4720	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7503	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6694	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7491	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2300	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   <.cop 3641   X. cxp 4686   1oc1o 6513   [cec 6636   /.cqs 6637   N.cnpi 7415   ~Q ceq 7422   Q.cnq 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-1o 6520  df-ec 6640  df-qs 6644  df-ni 7447  df-enq 7490  df-nqqs 7491

This theorem is referenced by:  recnnpr  7691  nnprlu  7696  archrecnq  7806  archrecpr  7807  caucvgprlemnkj  7809  caucvgprlemnbj  7810  caucvgprlemm  7811  caucvgprlemopl  7812  caucvgprlemlol  7813  caucvgprlemloc  7818  caucvgprlemladdfu  7820  caucvgprlemladdrl  7821  caucvgprprlemloccalc  7827  caucvgprprlemnkltj  7832  caucvgprprlemnkeqj  7833  caucvgprprlemnjltk  7834  caucvgprprlemml  7837  caucvgprprlemopl  7840  caucvgprprlemlol  7841  caucvgprprlemloc  7846  caucvgprprlemexb  7850  caucvgprprlem1  7852  caucvgprprlem2  7853  pitonnlem2  7990  ltrennb  7997  recidpipr  7999