Theorem nnnq 7489

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7382	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4695	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7427	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6648	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7415	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2290	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   <.cop 3625   X. cxp 4661   1oc1o 6467   [cec 6590   /.cqs 6591   N.cnpi 7339   ~Q ceq 7346   Q.cnq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-1o 6474  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-enq 7414  df-nqqs 7415

This theorem is referenced by:  recnnpr  7615  nnprlu  7620  archrecnq  7730  archrecpr  7731  caucvgprlemnkj  7733  caucvgprlemnbj  7734  caucvgprlemm  7735  caucvgprlemopl  7736  caucvgprlemlol  7737  caucvgprlemloc  7742  caucvgprlemladdfu  7744  caucvgprlemladdrl  7745  caucvgprprlemloccalc  7751  caucvgprprlemnkltj  7756  caucvgprprlemnkeqj  7757  caucvgprprlemnjltk  7758  caucvgprprlemml  7761  caucvgprprlemopl  7764  caucvgprprlemlol  7765  caucvgprprlemloc  7770  caucvgprprlemexb  7774  caucvgprprlem1  7776  caucvgprprlem2  7777  pitonnlem2  7914  ltrennb  7921  recidpipr  7923