Theorem nnnq 7620

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7513	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7558	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6744	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7546	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717   1oc1o 6561   [cec 6686   /.cqs 6687   N.cnpi 7470   ~Q ceq 7477   Q.cnq 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-1o 6568  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-enq 7545  df-nqqs 7546

This theorem is referenced by:  recnnpr  7746  nnprlu  7751  archrecnq  7861  archrecpr  7862  caucvgprlemnkj  7864  caucvgprlemnbj  7865  caucvgprlemm  7866  caucvgprlemopl  7867  caucvgprlemlol  7868  caucvgprlemloc  7873  caucvgprlemladdfu  7875  caucvgprlemladdrl  7876  caucvgprprlemloccalc  7882  caucvgprprlemnkltj  7887  caucvgprprlemnkeqj  7888  caucvgprprlemnjltk  7889  caucvgprprlemml  7892  caucvgprprlemopl  7895  caucvgprprlemlol  7896  caucvgprprlemloc  7901  caucvgprprlemexb  7905  caucvgprprlem1  7907  caucvgprprlem2  7908  pitonnlem2  8045  ltrennb  8052  recidpipr  8054