Theorem nnnq 7484

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7377	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4692	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7422	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6645	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7410	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2287	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   <.cop 3622   X. cxp 4658   1oc1o 6464   [cec 6587   /.cqs 6588   N.cnpi 7334   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-1o 6471  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-enq 7409  df-nqqs 7410

This theorem is referenced by:  recnnpr  7610  nnprlu  7615  archrecnq  7725  archrecpr  7726  caucvgprlemnkj  7728  caucvgprlemnbj  7729  caucvgprlemm  7730  caucvgprlemopl  7731  caucvgprlemlol  7732  caucvgprlemloc  7737  caucvgprlemladdfu  7739  caucvgprlemladdrl  7740  caucvgprprlemloccalc  7746  caucvgprprlemnkltj  7751  caucvgprprlemnkeqj  7752  caucvgprprlemnjltk  7753  caucvgprprlemml  7756  caucvgprprlemopl  7759  caucvgprprlemlol  7760  caucvgprprlemloc  7765  caucvgprprlemexb  7769  caucvgprprlem1  7771  caucvgprprlem2  7772  pitonnlem2  7909  ltrennb  7916  recidpipr  7918