Theorem nnnq 7420

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7313	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4658	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7358	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6588	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7346	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2271	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   <.cop 3595   X. cxp 4624   1oc1o 6409   [cec 6532   /.cqs 6533   N.cnpi 7270   ~Q ceq 7277   Q.cnq 7278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-1o 6416  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-enq 7345  df-nqqs 7346

This theorem is referenced by:  recnnpr  7546  nnprlu  7551  archrecnq  7661  archrecpr  7662  caucvgprlemnkj  7664  caucvgprlemnbj  7665  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemopl  7667  caucvgprlemlol  7668  caucvgprlemloc  7673  caucvgprlemladdfu  7675  caucvgprlemladdrl  7676  caucvgprprlemloccalc  7682  caucvgprprlemnkltj  7687  caucvgprprlemnkeqj  7688  caucvgprprlemnjltk  7689  caucvgprprlemml  7692  caucvgprprlemopl  7695  caucvgprprlemlol  7696  caucvgprprlemloc  7701  caucvgprprlemexb  7705  caucvgprprlem1  7707  caucvgprprlem2  7708  pitonnlem2  7845  ltrennb  7852  recidpipr  7854