Theorem nnnq 7131

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7024	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4509	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 419	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7069	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6413	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7057	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	syl6eleqr 2193	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1448   <.cop 3477   X. cxp 4475   1oc1o 6236   [cec 6357   /.cqs 6358   N.cnpi 6981   ~Q ceq 6988   Q.cnq 6989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-1o 6243  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-enq 7056  df-nqqs 7057

This theorem is referenced by:  recnnpr  7257  nnprlu  7262  archrecnq  7372  archrecpr  7373  caucvgprlemnkj  7375  caucvgprlemnbj  7376  caucvgprlemm  7377  caucvgprlemopl  7378  caucvgprlemlol  7379  caucvgprlemloc  7384  caucvgprlemladdfu  7386  caucvgprlemladdrl  7387  caucvgprprlemloccalc  7393  caucvgprprlemnkltj  7398  caucvgprprlemnkeqj  7399  caucvgprprlemnjltk  7400  caucvgprprlemml  7403  caucvgprprlemopl  7406  caucvgprprlemlol  7407  caucvgprprlemloc  7412  caucvgprprlemexb  7416  caucvgprprlem1  7418  caucvgprprlem2  7419  pitonnlem2  7534  ltrennb  7541  recidpipr  7543