Theorem nnnq 7570

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7463	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4725	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7508	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6699	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7496	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2301	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   <.cop 3646   X. cxp 4691   1oc1o 6518   [cec 6641   /.cqs 6642   N.cnpi 7420   ~Q ceq 7427   Q.cnq 7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-1o 6525  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-enq 7495  df-nqqs 7496

This theorem is referenced by:  recnnpr  7696  nnprlu  7701  archrecnq  7811  archrecpr  7812  caucvgprlemnkj  7814  caucvgprlemnbj  7815  caucvgprlemm  7816  caucvgprlemopl  7817  caucvgprlemlol  7818  caucvgprlemloc  7823  caucvgprlemladdfu  7825  caucvgprlemladdrl  7826  caucvgprprlemloccalc  7832  caucvgprprlemnkltj  7837  caucvgprprlemnkeqj  7838  caucvgprprlemnjltk  7839  caucvgprprlemml  7842  caucvgprprlemopl  7845  caucvgprprlemlol  7846  caucvgprprlemloc  7851  caucvgprprlemexb  7855  caucvgprprlem1  7857  caucvgprprlem2  7858  pitonnlem2  7995  ltrennb  8002  recidpipr  8004