Theorem nnnq 7421

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7314	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4659	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7359	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6589	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7347	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2271	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   <.cop 3596   X. cxp 4625   1oc1o 6410   [cec 6533   /.cqs 6534   N.cnpi 7271   ~Q ceq 7278   Q.cnq 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-1o 6417  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-enq 7346  df-nqqs 7347

This theorem is referenced by:  recnnpr  7547  nnprlu  7552  archrecnq  7662  archrecpr  7663  caucvgprlemnkj  7665  caucvgprlemnbj  7666  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemopl  7668  caucvgprlemlol  7669  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlemladdrl  7677  caucvgprprlemloccalc  7683  caucvgprprlemnkltj  7688  caucvgprprlemnkeqj  7689  caucvgprprlemnjltk  7690  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemopl  7696  caucvgprprlemlol  7697  caucvgprprlemloc  7702  caucvgprprlemexb  7706  caucvgprprlem1  7708  caucvgprprlem2  7709  pitonnlem2  7846  ltrennb  7853  recidpipr  7855