Theorem nnnq 7779

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7672	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4801	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7717	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6853	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7705	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2332	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   <.cop 3708   X. cxp 4767   1oc1o 6670   [cec 6795   /.cqs 6796   N.cnpi 7629   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-1o 6677  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-enq 7704  df-nqqs 7705

This theorem is referenced by:  recnnpr  7905  nnprlu  7910  archrecnq  8020  archrecpr  8021  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprlemm  8025  caucvgprlemopl  8026  caucvgprlemlol  8027  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlemladdrl  8035  caucvgprprlemloccalc  8041  caucvgprprlemnkltj  8046  caucvgprprlemnkeqj  8047  caucvgprprlemnjltk  8048  caucvgprprlemml  8051  caucvgprprlemopl  8054  caucvgprprlemlol  8055  caucvgprprlemloc  8060  caucvgprprlemexb  8064  caucvgprprlem1  8066  caucvgprprlem2  8067  pitonnlem2  8204  ltrennb  8211  recidpipr  8213