Theorem nnnq 7535

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7428	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4707	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7473	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6676	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7461	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2299	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   <.cop 3636   X. cxp 4673   1oc1o 6495   [cec 6618   /.cqs 6619   N.cnpi 7385   ~Q ceq 7392   Q.cnq 7393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-1o 6502  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-enq 7460  df-nqqs 7461

This theorem is referenced by:  recnnpr  7661  nnprlu  7666  archrecnq  7776  archrecpr  7777  caucvgprlemnkj  7779  caucvgprlemnbj  7780  caucvgprlemm  7781  caucvgprlemopl  7782  caucvgprlemlol  7783  caucvgprlemloc  7788  caucvgprlemladdfu  7790  caucvgprlemladdrl  7791  caucvgprprlemloccalc  7797  caucvgprprlemnkltj  7802  caucvgprprlemnkeqj  7803  caucvgprprlemnjltk  7804  caucvgprprlemml  7807  caucvgprprlemopl  7810  caucvgprprlemlol  7811  caucvgprprlemloc  7816  caucvgprprlemexb  7820  caucvgprprlem1  7822  caucvgprprlem2  7823  pitonnlem2  7960  ltrennb  7967  recidpipr  7969