Theorem nnnq 7632

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7525	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4755	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7570	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6753	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7558	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   <.cop 3670   X. cxp 4721   1oc1o 6570   [cec 6695   /.cqs 6696   N.cnpi 7482   ~Q ceq 7489   Q.cnq 7490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-1o 6577  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-enq 7557  df-nqqs 7558

This theorem is referenced by:  recnnpr  7758  nnprlu  7763  archrecnq  7873  archrecpr  7874  caucvgprlemnkj  7876  caucvgprlemnbj  7877  caucvgprlemm  7878  caucvgprlemopl  7879  caucvgprlemlol  7880  caucvgprlemloc  7885  caucvgprlemladdfu  7887  caucvgprlemladdrl  7888  caucvgprprlemloccalc  7894  caucvgprprlemnkltj  7899  caucvgprprlemnkeqj  7900  caucvgprprlemnjltk  7901  caucvgprprlemml  7904  caucvgprprlemopl  7907  caucvgprprlemlol  7908  caucvgprprlemloc  7913  caucvgprprlemexb  7917  caucvgprprlem1  7919  caucvgprprlem2  7920  pitonnlem2  8057  ltrennb  8064  recidpipr  8066