Theorem nnnq 7508

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7401	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4696	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7446	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6657	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7434	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2290	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   <.cop 3626   X. cxp 4662   1oc1o 6476   [cec 6599   /.cqs 6600   N.cnpi 7358   ~Q ceq 7365   Q.cnq 7366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-1o 6483  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7390  df-enq 7433  df-nqqs 7434

This theorem is referenced by:  recnnpr  7634  nnprlu  7639  archrecnq  7749  archrecpr  7750  caucvgprlemnkj  7752  caucvgprlemnbj  7753  caucvgprlemm  7754  caucvgprlemopl  7755  caucvgprlemlol  7756  caucvgprlemloc  7761  caucvgprlemladdfu  7763  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgprprlemloccalc  7770  caucvgprprlemnkltj  7775  caucvgprprlemnkeqj  7776  caucvgprprlemnjltk  7777  caucvgprprlemml  7780  caucvgprprlemopl  7783  caucvgprprlemlol  7784  caucvgprprlemloc  7789  caucvgprprlemexb  7793  caucvgprprlem1  7795  caucvgprprlem2  7796  pitonnlem2  7933  ltrennb  7940  recidpipr  7942