Theorem nnnq 7418

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7311	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4657	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7356	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6586	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7344	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2271	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   <.cop 3595   X. cxp 4623   1oc1o 6407   [cec 6530   /.cqs 6531   N.cnpi 7268   ~Q ceq 7275   Q.cnq 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-cnv 4633  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-1o 6414  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-enq 7343  df-nqqs 7344

This theorem is referenced by:  recnnpr  7544  nnprlu  7549  archrecnq  7659  archrecpr  7660  caucvgprlemnkj  7662  caucvgprlemnbj  7663  caucvgprlemm  7664  caucvgprlemopl  7665  caucvgprlemlol  7666  caucvgprlemloc  7671  caucvgprlemladdfu  7673  caucvgprlemladdrl  7674  caucvgprprlemloccalc  7680  caucvgprprlemnkltj  7685  caucvgprprlemnkeqj  7686  caucvgprprlemnjltk  7687  caucvgprprlemml  7690  caucvgprprlemopl  7693  caucvgprprlemlol  7694  caucvgprprlemloc  7699  caucvgprprlemexb  7703  caucvgprprlem1  7705  caucvgprprlem2  7706  pitonnlem2  7843  ltrennb  7850  recidpipr  7852