Theorem nnnq 7605

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7498	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4750	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7543	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6734	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7531	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4716   1oc1o 6553   [cec 6676   /.cqs 6677   N.cnpi 7455   ~Q ceq 7462   Q.cnq 7463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-1o 6560  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-enq 7530  df-nqqs 7531

This theorem is referenced by:  recnnpr  7731  nnprlu  7736  archrecnq  7846  archrecpr  7847  caucvgprlemnkj  7849  caucvgprlemnbj  7850  caucvgprlemm  7851  caucvgprlemopl  7852  caucvgprlemlol  7853  caucvgprlemloc  7858  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprlemladdrl  7861  caucvgprprlemloccalc  7867  caucvgprprlemnkltj  7872  caucvgprprlemnkeqj  7873  caucvgprprlemnjltk  7874  caucvgprprlemml  7877  caucvgprprlemopl  7880  caucvgprprlemlol  7881  caucvgprprlemloc  7886  caucvgprprlemexb  7890  caucvgprprlem1  7892  caucvgprprlem2  7893  pitonnlem2  8030  ltrennb  8037  recidpipr  8039