Theorem nnnq 7641

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7534	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4757	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7579	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6757	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7567	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2325	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   <.cop 3672   X. cxp 4723   1oc1o 6574   [cec 6699   /.cqs 6700   N.cnpi 7491   ~Q ceq 7498   Q.cnq 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-1o 6581  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-enq 7566  df-nqqs 7567

This theorem is referenced by:  recnnpr  7767  nnprlu  7772  archrecnq  7882  archrecpr  7883  caucvgprlemnkj  7885  caucvgprlemnbj  7886  caucvgprlemm  7887  caucvgprlemopl  7888  caucvgprlemlol  7889  caucvgprlemloc  7894  caucvgprlemladdfu  7896  caucvgprlemladdrl  7897  caucvgprprlemloccalc  7903  caucvgprprlemnkltj  7908  caucvgprprlemnkeqj  7909  caucvgprprlemnjltk  7910  caucvgprprlemml  7913  caucvgprprlemopl  7916  caucvgprprlemlol  7917  caucvgprprlemloc  7922  caucvgprprlemexb  7926  caucvgprprlem1  7928  caucvgprprlem2  7929  pitonnlem2  8066  ltrennb  8073  recidpipr  8075