Theorem recexnq 7452

Description: Existence of positive fraction reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
recexnq	|- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem recexnq

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7410	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( A .Q y ) )
3	2	eqeq1d 2202	. . . 4 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
4	3	anbi2d 464	. . 3 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
5	4	exbidv 1836	. 2 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
6		opelxpi 4692	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ x e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
8		enqex 7422	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
9	8	ecelqsi 6645	. . . . 5 |- ( <. z , x >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
11	10, 1	eleqtrrdi 2287	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. )
12		mulcompig 7393	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) = ( z .N x ) )
13	12	opeq2d 3812	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. = <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. )
14	13	eceq1d 6625	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
15		mulclpi 7390	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
16		1qec 7450	. . . . . 6 |- ( ( x .N z ) e. N. -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
18		mulpipqqs 7435	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( z e. N. /\ x e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
19	18	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( x e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
20	19	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
21	14, 17, 20	3eqtr4rd 2237	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q )
22	11, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
23		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( y e. Q. <-> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. ) )
24		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) )
25	24	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) ) )
27	26	spcegv 2849	. . 3 |- ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. -> ( ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) ) )
28	11, 22, 27	sylc 62	. 2 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) )
29	1, 5, 28	ecoptocl 6678	1 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   <.cop 3622   X. cxp 4658  (class class class)co 5919   [cec 6587   /.cqs 6588   N.cnpi 7334   .N cmi 7336   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342   1Qc1q 7343   .Q cmq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7453  recclnq  7454