Theorem recexnq 7474

Description: Existence of positive fraction reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
recexnq	|- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem recexnq

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7432	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5932	. . . . 5 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( A .Q y ) )
3	2	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
4	3	anbi2d 464	. . 3 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
5	4	exbidv 1839	. 2 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
6		opelxpi 4696	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ x e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
8		enqex 7444	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
9	8	ecelqsi 6657	. . . . 5 |- ( <. z , x >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
11	10, 1	eleqtrrdi 2290	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. )
12		mulcompig 7415	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) = ( z .N x ) )
13	12	opeq2d 3816	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. = <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. )
14	13	eceq1d 6637	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
15		mulclpi 7412	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
16		1qec 7472	. . . . . 6 |- ( ( x .N z ) e. N. -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
18		mulpipqqs 7457	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( z e. N. /\ x e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
19	18	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( x e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
20	19	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
21	14, 17, 20	3eqtr4rd 2240	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q )
22	11, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
23		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( y e. Q. <-> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. ) )
24		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) )
25	24	eqeq1d 2205	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) ) )
27	26	spcegv 2852	. . 3 |- ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. -> ( ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) ) )
28	11, 22, 27	sylc 62	. 2 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) )
29	1, 5, 28	ecoptocl 6690	1 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   <.cop 3626   X. cxp 4662  (class class class)co 5925   [cec 6599   /.cqs 6600   N.cnpi 7356   .N cmi 7358   ~Q ceq 7363   Q.cnq 7364   1Qc1q 7365   .Q cmq 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7475  recclnq  7476