Theorem recexnq 7364

Description: Existence of positive fraction reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
recexnq	|- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem recexnq

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7322	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5872	. . . . 5 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( A .Q y ) )
3	2	eqeq1d 2184	. . . 4 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
4	3	anbi2d 464	. . 3 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
5	4	exbidv 1823	. 2 |- ( [ <. x , z >. ] ~Q = A -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) ) )
6		opelxpi 4652	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ x e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. z , x >. e. ( N. X. N. ) )
8		enqex 7334	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
9	8	ecelqsi 6579	. . . . 5 |- ( <. z , x >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
11	10, 1	eleqtrrdi 2269	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. )
12		mulcompig 7305	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) = ( z .N x ) )
13	12	opeq2d 3781	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. = <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. )
14	13	eceq1d 6561	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
15		mulclpi 7302	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
16		1qec 7362	. . . . . 6 |- ( ( x .N z ) e. N. -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> 1Q = [ <. ( x .N z ) , ( x .N z ) >. ] ~Q )
18		mulpipqqs 7347	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( z e. N. /\ x e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
19	18	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( x e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
20	19	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( z .N x ) >. ] ~Q )
21	14, 17, 20	3eqtr4rd 2219	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q )
22	11, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
23		eleq1 2238	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( y e. Q. <-> [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. ) )
24		oveq2 5873	. . . . . 6 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) )
25	24	eqeq1d 2184	. . . . 5 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q <-> ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = [ <. z , x >. ] ~Q -> ( ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) <-> ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) ) )
27	26	spcegv 2823	. . 3 |- ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. -> ( ( [ <. z , x >. ] ~Q e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q [ <. z , x >. ] ~Q ) = 1Q ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) ) )
28	11, 22, 27	sylc 62	. 2 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> E. y ( y e. Q. /\ ( [ <. x , z >. ] ~Q .Q y ) = 1Q ) )
29	1, 5, 28	ecoptocl 6612	1 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   <.cop 3592   X. cxp 4618  (class class class)co 5865   [cec 6523   /.cqs 6524   N.cnpi 7246   .N cmi 7248   ~Q ceq 7253   Q.cnq 7254   1Qc1q 7255   .Q cmq 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7365  recclnq  7366