Theorem 1nq 7629

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7578	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4763	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7623	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6801	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7614	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7611	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2313	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2202   <.cop 3676   X. cxp 4729   1oc1o 6618   [cec 6743   /.cqs 6744   N.cnpi 7535   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   1Qc1q 7544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-1o 6625  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-1nqqs 7614

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7654  rec1nq  7658  ltaddnq  7670  halfnqq  7673  addnqprllem  7790  addnqprulem  7791  1pr  7817  addnqpr1  7825  appdivnq  7826  1idprl  7853  1idpru  7854  recexprlemm  7887  recexprlem1ssl  7896  recexprlem1ssu  7897  cauappcvgprlemm  7908  caucvgprlemm  7931  caucvgprprlemmu  7958  suplocexprlemmu  7981