Theorem 1nq 7509

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7458	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4720	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7503	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6694	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7494	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7491	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2288	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2177   <.cop 3641   X. cxp 4686   1oc1o 6513   [cec 6636   /.cqs 6637   N.cnpi 7415   ~Q ceq 7422   Q.cnq 7423   1Qc1q 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-1o 6520  df-ec 6640  df-qs 6644  df-ni 7447  df-enq 7490  df-nqqs 7491  df-1nqqs 7494

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7534  rec1nq  7538  ltaddnq  7550  halfnqq  7553  addnqprllem  7670  addnqprulem  7671  1pr  7697  addnqpr1  7705  appdivnq  7706  1idprl  7733  1idpru  7734  recexprlemm  7767  recexprlem1ssl  7776  recexprlem1ssu  7777  cauappcvgprlemm  7788  caucvgprlemm  7811  caucvgprprlemmu  7838  suplocexprlemmu  7861