Theorem 1nq 7360

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7309	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4656	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7354	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6584	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7345	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7342	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2259	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2148   <.cop 3595   X. cxp 4622   1oc1o 6405   [cec 6528   /.cqs 6529   N.cnpi 7266   ~Q ceq 7273   Q.cnq 7274   1Qc1q 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-1o 6412  df-ec 6532  df-qs 6536  df-ni 7298  df-enq 7341  df-nqqs 7342  df-1nqqs 7345

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7385  rec1nq  7389  ltaddnq  7401  halfnqq  7404  addnqprllem  7521  addnqprulem  7522  1pr  7548  addnqpr1  7556  appdivnq  7557  1idprl  7584  1idpru  7585  recexprlemm  7618  recexprlem1ssl  7627  recexprlem1ssu  7628  cauappcvgprlemm  7639  caucvgprlemm  7662  caucvgprprlemmu  7689  suplocexprlemmu  7712