Theorem 1nq 6925

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 6874	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4469	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 417	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 6919	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6346	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 6910	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 6907	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2169	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 1438   <.cop 3449   X. cxp 4436   1oc1o 6174   [cec 6290   /.cqs 6291   N.cnpi 6831   ~Q ceq 6838   Q.cnq 6839   1Qc1q 6840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-1o 6181  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-1nqqs 6910

This theorem is referenced by:  recmulnqg  6950  rec1nq  6954  ltaddnq  6966  halfnqq  6969  addnqprllem  7086  addnqprulem  7087  1pr  7113  addnqpr1  7121  appdivnq  7122  1idprl  7149  1idpru  7150  recexprlemm  7183  recexprlem1ssl  7192  recexprlem1ssu  7193  cauappcvgprlemm  7204  caucvgprlemm  7227  caucvgprprlemmu  7254