Theorem 1nq 7174

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7123	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4571	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 422	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7168	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6483	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7159	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7156	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2221	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 1480   <.cop 3530   X. cxp 4537   1oc1o 6306   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7080   ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088   1Qc1q 7089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-1o 6313  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-1nqqs 7159

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7199  rec1nq  7203  ltaddnq  7215  halfnqq  7218  addnqprllem  7335  addnqprulem  7336  1pr  7362  addnqpr1  7370  appdivnq  7371  1idprl  7398  1idpru  7399  recexprlemm  7432  recexprlem1ssl  7441  recexprlem1ssu  7442  cauappcvgprlemm  7453  caucvgprlemm  7476  caucvgprprlemmu  7503  suplocexprlemmu  7526