Theorem 1nq 7514

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7463	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4725	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7508	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6699	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7499	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7496	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2289	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2178   <.cop 3646   X. cxp 4691   1oc1o 6518   [cec 6641   /.cqs 6642   N.cnpi 7420   ~Q ceq 7427   Q.cnq 7428   1Qc1q 7429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-1o 6525  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-1nqqs 7499

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7539  rec1nq  7543  ltaddnq  7555  halfnqq  7558  addnqprllem  7675  addnqprulem  7676  1pr  7702  addnqpr1  7710  appdivnq  7711  1idprl  7738  1idpru  7739  recexprlemm  7772  recexprlem1ssl  7781  recexprlem1ssu  7782  cauappcvgprlemm  7793  caucvgprlemm  7816  caucvgprprlemmu  7843  suplocexprlemmu  7866