Theorem 1nq 7576

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7525	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4755	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7570	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6753	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7561	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7558	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2200   <.cop 3670   X. cxp 4721   1oc1o 6570   [cec 6695   /.cqs 6696   N.cnpi 7482   ~Q ceq 7489   Q.cnq 7490   1Qc1q 7491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-1o 6577  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-1nqqs 7561

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7601  rec1nq  7605  ltaddnq  7617  halfnqq  7620  addnqprllem  7737  addnqprulem  7738  1pr  7764  addnqpr1  7772  appdivnq  7773  1idprl  7800  1idpru  7801  recexprlemm  7834  recexprlem1ssl  7843  recexprlem1ssu  7844  cauappcvgprlemm  7855  caucvgprlemm  7878  caucvgprprlemmu  7905  suplocexprlemmu  7928