Theorem 1nq 7298

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7247	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4630	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7292	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6546	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7283	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7280	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2246	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2135   <.cop 3573   X. cxp 4596   1oc1o 6368   [cec 6490   /.cqs 6491   N.cnpi 7204   ~Q ceq 7211   Q.cnq 7212   1Qc1q 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-1o 6375  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-1nqqs 7283

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7323  rec1nq  7327  ltaddnq  7339  halfnqq  7342  addnqprllem  7459  addnqprulem  7460  1pr  7486  addnqpr1  7494  appdivnq  7495  1idprl  7522  1idpru  7523  recexprlemm  7556  recexprlem1ssl  7565  recexprlem1ssu  7566  cauappcvgprlemm  7577  caucvgprlemm  7600  caucvgprprlemmu  7627  suplocexprlemmu  7650