Theorem 1nq 7549

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7498	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4750	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7543	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6734	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7534	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7531	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4716   1oc1o 6553   [cec 6676   /.cqs 6677   N.cnpi 7455   ~Q ceq 7462   Q.cnq 7463   1Qc1q 7464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-1o 6560  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-1nqqs 7534

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7574  rec1nq  7578  ltaddnq  7590  halfnqq  7593  addnqprllem  7710  addnqprulem  7711  1pr  7737  addnqpr1  7745  appdivnq  7746  1idprl  7773  1idpru  7774  recexprlemm  7807  recexprlem1ssl  7816  recexprlem1ssu  7817  cauappcvgprlemm  7828  caucvgprlemm  7851  caucvgprprlemmu  7878  suplocexprlemmu  7901