Theorem 1nq 7733

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7682	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4806	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 430	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7727	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6863	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7718	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7715	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2320	1 |- 1Q e. Q.

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4772   1oc1o 6680   [cec 6805   /.cqs 6806   N.cnpi 7639   ~Q ceq 7646   Q.cnq 7647   1Qc1q 7648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-1o 6687  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-1nqqs 7718

This theorem is used by:  recmulnqg  7758  rec1nq  7762  ltaddnq  7774  halfnqq  7777  addnqprllem  7894  addnqprulem  7895  1pr  7921  addnqpr1  7929  appdivnq  7930  1idprl  7957  1idpru  7958  recexprlemm  7991  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001  cauappcvgprlemm  8012  caucvgprlemm  8035  caucvgprprlemmu  8062  suplocexprlemmu  8085