Theorem 1nq 7564

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7513	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7558	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6744	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7549	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7546	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717   1oc1o 6561   [cec 6686   /.cqs 6687   N.cnpi 7470   ~Q ceq 7477   Q.cnq 7478   1Qc1q 7479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-1o 6568  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-1nqqs 7549

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7589  rec1nq  7593  ltaddnq  7605  halfnqq  7608  addnqprllem  7725  addnqprulem  7726  1pr  7752  addnqpr1  7760  appdivnq  7761  1idprl  7788  1idpru  7789  recexprlemm  7822  recexprlem1ssl  7831  recexprlem1ssu  7832  cauappcvgprlemm  7843  caucvgprlemm  7866  caucvgprprlemmu  7893  suplocexprlemmu  7916