Theorem 1nq 7681

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7630	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4781	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7675	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6823	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7666	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7663	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2314	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2203   <.cop 3692   X. cxp 4747   1oc1o 6640   [cec 6765   /.cqs 6766   N.cnpi 7587   ~Q ceq 7594   Q.cnq 7595   1Qc1q 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-1o 6647  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-1nqqs 7666

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7706  rec1nq  7710  ltaddnq  7722  halfnqq  7725  addnqprllem  7842  addnqprulem  7843  1pr  7869  addnqpr1  7877  appdivnq  7878  1idprl  7905  1idpru  7906  recexprlemm  7939  recexprlem1ssl  7948  recexprlem1ssu  7949  cauappcvgprlemm  7960  caucvgprlemm  7983  caucvgprprlemmu  8010  suplocexprlemmu  8033