Theorem 1nq 7116

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7065	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4529	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 420	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7110	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6435	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7101	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7098	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2194	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 1461   <.cop 3494   X. cxp 4495   1oc1o 6258   [cec 6379   /.cqs 6380   N.cnpi 7022   ~Q ceq 7029   Q.cnq 7030   1Qc1q 7031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-1o 6265  df-ec 6383  df-qs 6387  df-ni 7054  df-enq 7097  df-nqqs 7098  df-1nqqs 7101

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7141  rec1nq  7145  ltaddnq  7157  halfnqq  7160  addnqprllem  7277  addnqprulem  7278  1pr  7304  addnqpr1  7312  appdivnq  7313  1idprl  7340  1idpru  7341  recexprlemm  7374  recexprlem1ssl  7383  recexprlem1ssu  7384  cauappcvgprlemm  7395  caucvgprlemm  7418  caucvgprprlemmu  7445