Theorem 1nq 7697

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	|- 1Q e. Q.

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7646	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4786	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. )
4		enqex 7691	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6836	. . 3 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
7		df-1nqqs 7682	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
8		df-nqqs 7679	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2316	1 |- 1Q e. Q.

Syntax hints:   e. wcel 2205   <.cop 3697   X. cxp 4752   1oc1o 6653   [cec 6778   /.cqs 6779   N.cnpi 7603   ~Q ceq 7610   Q.cnq 7611   1Qc1q 7612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-1o 6660  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-1nqqs 7682

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7722  rec1nq  7726  ltaddnq  7738  halfnqq  7741  addnqprllem  7858  addnqprulem  7859  1pr  7885  addnqpr1  7893  appdivnq  7894  1idprl  7921  1idpru  7922  recexprlemm  7955  recexprlem1ssl  7964  recexprlem1ssu  7965  cauappcvgprlemm  7976  caucvgprlemm  7999  caucvgprprlemmu  8026  suplocexprlemmu  8049