Theorem f1setfi 7307

Description: The set of injections between two finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
f1setfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem f1setfi

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6922	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
3		mapfi 7251	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
4	3	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
5	2, 4	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ Fin)
6		f1f 5593	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
7	6	ss2abi 3320	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
9		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}) → 𝐵 ∈ Fin)
11		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
12		feq1 5511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑔:𝐴⟶𝐵))
13	11, 12	elab 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ 𝑔:𝐴⟶𝐵)
14	13	bilani 387	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}) → 𝑔:𝐴⟶𝐵)
15		fdcf1 7306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐴⟶𝐵) → DECID 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}) → DECID 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
17		f1eq1 5588	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝑔:𝐴–1-1→𝐵))
18	11, 17	elab 2970	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ↔ 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
19	18	dcbii 852	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ↔ DECID 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
20	16, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}) → DECID 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵})
21	20	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}DECID 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵})
22		ssfidc 7235	. 2 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∧ ∀𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}DECID 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ Fin)
23	5, 8, 21, 22	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ⟶wf 5368  –1-1→wf1 5369  (class class class)co 6075   ↑_𝑚 cmap 6912  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  hashf1lem2  11264