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Theorem mapfi 7227
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Proof of Theorem mapfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6066 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A ^m w ) = ( A ^m (/) ) )
21eleq1d 2303 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m (/) ) e. Fin ) )
3 oveq2 6066 . . 3 |- ( w = y -> ( A ^m w ) = ( A ^m y ) )
43eleq1d 2303 . 2 |- ( w = y -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m y ) e. Fin ) )
5 oveq2 6066 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A ^m w ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2303 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 oveq2 6066 . . 3 |- ( w = B -> ( A ^m w ) = ( A ^m B ) )
87eleq1d 2303 . 2 |- ( w = B -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m B ) e. Fin ) )
9 mapdm0 6910 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
10 0ex 4242 . . . . 5 |- (/) e. _V
11 snfig 7069 . . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 |- { (/) } e. Fin
139, 12eqeltrdi 2325 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
1413adantr 276 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
15 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m y ) e. Fin )
16 simp-4l 543 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> A e. Fin )
17 vex 2818 . . . . . . . 8 |- z e. _V
1817a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. _V )
1916, 18mapsnend 7065 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
20 enfii 7142 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A ^m { z } ) ~~ A ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
2116, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
22 xpfi 7205 . . . . 5 |- ( ( ( A ^m y ) e. Fin /\ ( A ^m { z } ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
2315, 21, 22syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
24 vex 2818 . . . . . 6 |- y e. _V
2524a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> y e. _V )
2617snex 4303 . . . . . 6 |- { z } e. _V
2726a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> { z } e. _V )
28 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
2928eldifbd 3226 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30 disjsn 3756 . . . . . 6 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3129, 30sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
32 mapunen 7117 . . . . 5 |- ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. Fin ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
3325, 27, 16, 31, 32syl31anc 1277 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
34 enfii 7142 . . . 4 |- ( ( ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin /\ ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3523, 33, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3635ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) e. Fin -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
37 simpr 110 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
382, 4, 6, 8, 14, 36, 37findcard2sd 7162 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   u. cun 3212   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986   Fincfn 6988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991
This theorem is referenced by:  fipwfi  7285  hashmap  11217  hashpwfi  11218
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