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Theorem mapfi 7254
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Proof of Theorem mapfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6086 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A ^m w ) = ( A ^m (/) ) )
21eleq1d 2307 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m (/) ) e. Fin ) )
3 oveq2 6086 . . 3 |- ( w = y -> ( A ^m w ) = ( A ^m y ) )
43eleq1d 2307 . 2 |- ( w = y -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m y ) e. Fin ) )
5 oveq2 6086 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A ^m w ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2307 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 oveq2 6086 . . 3 |- ( w = B -> ( A ^m w ) = ( A ^m B ) )
87eleq1d 2307 . 2 |- ( w = B -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m B ) e. Fin ) )
9 mapdm0 6930 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
10 0ex 4258 . . . . 5 |- (/) e. _V
11 snfig 7096 . . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 |- { (/) } e. Fin
139, 12eqeltrdi 2329 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
1413adantr 276 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
15 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m y ) e. Fin )
16 simp-4l 547 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> A e. Fin )
17 vex 2824 . . . . . . . 8 |- z e. _V
1817a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. _V )
1916, 18mapsnend 7092 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
20 enfii 7169 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A ^m { z } ) ~~ A ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
2116, 19, 20syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
22 xpfi 7232 . . . . 5 |- ( ( ( A ^m y ) e. Fin /\ ( A ^m { z } ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
2315, 21, 22syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
24 vex 2824 . . . . . 6 |- y e. _V
2524a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> y e. _V )
2617snex 4320 . . . . . 6 |- { z } e. _V
2726a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> { z } e. _V )
28 simplrr 542 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
2928eldifbd 3232 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30 disjsn 3770 . . . . . 6 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3129, 30sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
32 mapunen 7144 . . . . 5 |- ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. Fin ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
3325, 27, 16, 31, 32syl31anc 1281 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
34 enfii 7169 . . . 4 |- ( ( ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin /\ ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3523, 33, 34syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3635ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) e. Fin -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
37 simpr 110 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
382, 4, 6, 8, 14, 36, 37findcard2sd 7189 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3708   class class class wbr 4128   X. cxp 4770  (class class class)co 6078   ^m cmap 6915   ~~ cen 7013   Fincfn 7015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-1o 6680  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-fin 7018
This theorem is referenced by:  f1setfi  7310  fipwfi  7314  hashmap  11249  hashpwfi  11250
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