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Theorem mapfi 7205
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Proof of Theorem mapfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6049 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A ^m w ) = ( A ^m (/) ) )
21eleq1d 2301 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m (/) ) e. Fin ) )
3 oveq2 6049 . . 3 |- ( w = y -> ( A ^m w ) = ( A ^m y ) )
43eleq1d 2301 . 2 |- ( w = y -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m y ) e. Fin ) )
5 oveq2 6049 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A ^m w ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2301 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 oveq2 6049 . . 3 |- ( w = B -> ( A ^m w ) = ( A ^m B ) )
87eleq1d 2301 . 2 |- ( w = B -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m B ) e. Fin ) )
9 mapdm0 6888 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
10 0ex 4230 . . . . 5 |- (/) e. _V
11 snfig 7047 . . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 |- { (/) } e. Fin
139, 12eqeltrdi 2323 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
1413adantr 276 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
15 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m y ) e. Fin )
16 simp-4l 543 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> A e. Fin )
17 vex 2815 . . . . . . . 8 |- z e. _V
1817a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. _V )
1916, 18mapsnend 7043 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
20 enfii 7120 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A ^m { z } ) ~~ A ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
2116, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
22 xpfi 7183 . . . . 5 |- ( ( ( A ^m y ) e. Fin /\ ( A ^m { z } ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
2315, 21, 22syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
24 vex 2815 . . . . . 6 |- y e. _V
2524a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> y e. _V )
2617snex 4290 . . . . . 6 |- { z } e. _V
2726a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> { z } e. _V )
28 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
2928eldifbd 3222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30 disjsn 3744 . . . . . 6 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3129, 30sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
32 mapunen 7095 . . . . 5 |- ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. Fin ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
3325, 27, 16, 31, 32syl31anc 1277 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
34 enfii 7120 . . . 4 |- ( ( ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin /\ ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3523, 33, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3635ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) e. Fin -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
37 simpr 110 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
382, 4, 6, 8, 14, 36, 37findcard2sd 7140 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   C_ wss 3210   (/)c0 3505   {csn 3682   class class class wbr 4102   X. cxp 4738  (class class class)co 6041   ^m cmap 6873   ~~ cen 6964   Fincfn 6966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-1o 6638  df-er 6758  df-map 6875  df-en 6967  df-fin 6969
This theorem is referenced by:  fipwfi  7263
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