ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapfi Unicode version
Theorem mapfi 7216
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Proof of Theorem mapfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6060 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A ^m w ) = ( A ^m (/) ) )
21eleq1d 2303 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m (/) ) e. Fin ) )
3 oveq2 6060 . . 3 |- ( w = y -> ( A ^m w ) = ( A ^m y ) )
43eleq1d 2303 . 2 |- ( w = y -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m y ) e. Fin ) )
5 oveq2 6060 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A ^m w ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2303 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 oveq2 6060 . . 3 |- ( w = B -> ( A ^m w ) = ( A ^m B ) )
87eleq1d 2303 . 2 |- ( w = B -> ( ( A ^m w ) e. Fin <-> ( A ^m B ) e. Fin ) )
9 mapdm0 6899 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
10 0ex 4239 . . . . 5 |- (/) e. _V
11 snfig 7058 . . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 |- { (/) } e. Fin
139, 12eqeltrdi 2325 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
1413adantr 276 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m (/) ) e. Fin )
15 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m y ) e. Fin )
16 simp-4l 543 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> A e. Fin )
17 vex 2818 . . . . . . . 8 |- z e. _V
1817a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. _V )
1916, 18mapsnend 7054 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
20 enfii 7131 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A ^m { z } ) ~~ A ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
2116, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m { z } ) e. Fin )
22 xpfi 7194 . . . . 5 |- ( ( ( A ^m y ) e. Fin /\ ( A ^m { z } ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
2315, 21, 22syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin )
24 vex 2818 . . . . . 6 |- y e. _V
2524a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> y e. _V )
2617snex 4300 . . . . . 6 |- { z } e. _V
2726a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> { z } e. _V )
28 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
2928eldifbd 3225 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30 disjsn 3753 . . . . . 6 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3129, 30sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
32 mapunen 7106 . . . . 5 |- ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. Fin ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
3325, 27, 16, 31, 32syl31anc 1277 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
34 enfii 7131 . . . 4 |- ( ( ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) e. Fin /\ ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3523, 33, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) e. Fin ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3635ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) e. Fin -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
37 simpr 110 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
382, 4, 6, 8, 14, 36, 37findcard2sd 7151 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ^m B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3210   u. cun 3211   i^i cin 3212   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691   class class class wbr 4111   X. cxp 4749  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884   ~~ cen 6975   Fincfn 6977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980
This theorem is referenced by:  fipwfi  7274  hashmap  11196  hashpwfi  11197
  Copyright terms: Public domain W3C validator