Theorem finacn 7554

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
3		ffvelcdm 5835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
4		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (𝑗 ∈ 𝑤 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
5	4	exbidv 1878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
6	5	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↔ ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦))
9		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)))
10	9	cbvexv 1974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		rexv 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
14	13	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
16		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
17	16	ac6sfi 7196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
19		exsimpr 1671	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
21	20	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		isacnm 7553	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
24	22, 23	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
26	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
27	25, 26	2thd 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
28	27	eqrdv 2236	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  AC wacn 7517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-acnm 7519

This theorem is referenced by: (None)