Theorem finacn 7419

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
3		ffvelcdm 5780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
4		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (𝑗 ∈ 𝑤 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
5	4	exbidv 1873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
6	5	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↔ ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦))
9		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)))
10	9	cbvexv 1967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		rexv 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
14	13	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
16		eleq1 2294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
17	16	ac6sfi 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
19		exsimpr 1666	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
21	20	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22		vex 2805	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		isacnm 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
26	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
27	25, 26	2thd 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
28	27	eqrdv 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514  Vcvv 2802  𝒫 cpw 3652  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817  Fincfn 6909  AC wacn 7382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-fin 6912  df-acnm 7384

This theorem is referenced by: (None)