Theorem finacn 7394

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
3		ffvelcdm 5770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
4		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (𝑗 ∈ 𝑤 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
5	4	exbidv 1871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
6	5	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↔ ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦))
9		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)))
10	9	cbvexv 1965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		rexv 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
14	13	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
16		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
17	16	ac6sfi 7068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
19		exsimpr 1664	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
21	20	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		isacnm 7393	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
26	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
27	25, 26	2thd 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
28	27	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512  Vcvv 2799  𝒫 cpw 3649  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ↑_𝑚 cmap 6803  Fincfn 6895  AC wacn 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-fin 6898  df-acnm 7360

This theorem is referenced by: (None)