Theorem finacn 7287

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
3		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
4		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (𝑗 ∈ 𝑤 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
5	4	exbidv 1839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
6	5	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↔ ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦))
9		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)))
10	9	cbvexv 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		rexv 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
14	13	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
16		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
17	16	ac6sfi 6968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
19		exsimpr 1632	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
21	20	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		isacnm 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
26	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
27	25, 26	2thd 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
28	27	eqrdv 2194	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479  Vcvv 2763  𝒫 cpw 3606  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  AC wacn 7256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-fin 6811  df-acnm 7258

This theorem is referenced by: (None)