Theorem finacn 7510

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
3		ffvelcdm 5809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤})
4		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (𝑗 ∈ 𝑤 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
5	4	exbidv 1874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑓‘𝑦) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
6	5	elrab 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ {𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↔ ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦)))
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦))
9		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)))
10	9	cbvexv 1968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		rexv 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
14	13	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶{𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
16		eleq1 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
17	16	ac6sfi 7154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
19		exsimpr 1667	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
21	20	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22		vex 2815	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		isacnm 7509	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑤 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑤} ↑𝑚 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
26	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
27	25, 26	2thd 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
28	27	eqrdv 2230	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524  Vcvv 2812  𝒫 cpw 3668  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881  Fincfn 6974  AC wacn 7473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-acnm 7475

This theorem is referenced by: (None)