Theorem grpcld 13542

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	|- B = ( Base ` G )
grpcld.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpcld.r	|- ( ph -> G e. Grp )
grpcld.x	|- ( ph -> X e. B )
grpcld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpcld	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpcld.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpcld.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpcld.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpcld.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6	4, 5	grpcl 13536	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1271	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   Grpcgrp 13528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531

This theorem is referenced by:  dfgrp3m  13627  subgcl  13716  nmzsubg  13742  0nsg  13746  eqger  13756  ghmpreima  13798  conjghm  13808  conjnmz  13811  conjnmzb  13812  ringpropd  13996  dvrdir  14101  lringuplu  14154  lmodprop2d  14306  mplsubgfilemcl  14657