Theorem grpcld 13796

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	|- B = ( Base ` G )
grpcld.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpcld.r	|- ( ph -> G e. Grp )
grpcld.x	|- ( ph -> X e. B )
grpcld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpcld	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpcld.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpcld.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpcld.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpcld.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6	4, 5	grpcl 13790	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785

This theorem is referenced by:  dfgrp3m  13881  subgcl  13964  nmzsubg  13990  0nsg  13994  eqger  14004  ghmpreima  14046  conjghm  14056  conjnmz  14059  conjnmzb  14060  ringpropd  14316  dvrdir  14423  lringuplu  14476  lmodprop2d  14657  mplsubgfilemcl  15013