Theorem grpcld 13819

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	|- B = ( Base ` G )
grpcld.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpcld.r	|- ( ph -> G e. Grp )
grpcld.x	|- ( ph -> X e. B )
grpcld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpcld	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpcld.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpcld.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpcld.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpcld.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6	4, 5	grpcl 13813	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   Grpcgrp 13805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808

This theorem is used by:  dfgrp3m  13904  subgcl  13987  nmzsubg  14013  0nsg  14017  eqger  14027  ghmpreima  14069  conjghm  14079  conjnmz  14082  conjnmzb  14083  ringpropd  14343  dvrdir  14450  lringuplu  14503  lmodprop2d  14685  mplsubgfilemcl  15090