Theorem grpcld 13507

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	|- B = ( Base ` G )
grpcld.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpcld.r	|- ( ph -> G e. Grp )
grpcld.x	|- ( ph -> X e. B )
grpcld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpcld	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpcld.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpcld.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpcld.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpcld.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6	4, 5	grpcl 13501	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   Basecbs 12993   +g cplusg 13070   Grpcgrp 13493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-fv 5299  df-ov 5972  df-inn 9074  df-2 9132  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-plusg 13083  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496

This theorem is referenced by:  dfgrp3m  13592  subgcl  13681  nmzsubg  13707  0nsg  13711  eqger  13721  ghmpreima  13763  conjghm  13773  conjnmz  13776  conjnmzb  13777  ringpropd  13961  dvrdir  14066  lringuplu  14119  lmodprop2d  14271  mplsubgfilemcl  14622