Theorem conjghm 13346

Description: Conjugation is an automorphism of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conjghm.x	|- X = ( Base ` G )
conjghm.p	|- .+ = ( +g ` G )
conjghm.m	|- .- = ( -g ` G )
conjghm.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )

Assertion

Ref	Expression
conjghm	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .+   x, A   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem conjghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conjghm.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		conjghm.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> G e. Grp )
5	1, 2	grpcl 13080	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
6	5	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
7		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> A e. X )
8		conjghm.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
9	1, 8	grpsubcl 13152	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ x ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
11		conjghm.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )
12	10, 11	fmptd 5712	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X --> X )
13	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> G e. Grp )
14		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> A e. X )
15		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
16	1, 2, 13, 14, 15	grpcld 13086	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ y ) e. X )
17	1, 8	grpsubcl 13152	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
18	13, 16, 14, 17	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
19		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
20	1, 8	grpsubcl 13152	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ A e. X ) -> ( z .- A ) e. X )
21	13, 19, 14, 20	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z .- A ) e. X )
22	1, 2	grpass 13081	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( A .+ y ) .- A ) e. X /\ A e. X /\ ( z .- A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
23	13, 18, 14, 21, 22	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
24	1, 2, 8	grpnpcan 13164	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
25	13, 16, 14, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
26	25	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
27	1, 2, 8	grpaddsubass 13162	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ y ) e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
28	13, 16, 19, 14, 27	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
29	1, 2	grpass 13081	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
30	13, 14, 15, 19, 29	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
31	30	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
32	26, 28, 31	3eqtr2rd 2233	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) )
33	1, 2, 8	grpaddsubass 13162	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
34	13, 14, 19, 14, 33	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
35	34	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
36	23, 32, 35	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
37		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( A .+ x ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
38	37	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
39	1, 2, 13, 15, 19	grpcld 13086	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .+ z ) e. X )
40	1, 2, 13, 14, 39	grpcld 13086	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ ( y .+ z ) ) e. X )
41	1, 8	grpsubcl 13152	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ ( y .+ z ) ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) e. X )
42	13, 40, 14, 41	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) e. X )
43	11, 38, 39, 42	fvmptd3 5651	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
44		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A .+ x ) = ( A .+ y ) )
45	44	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
46	11, 45, 15, 18	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` y ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
47		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A .+ x ) = ( A .+ z ) )
48	47	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
49	1, 2, 13, 14, 19	grpcld 13086	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ z ) e. X )
50	1, 8	grpsubcl 13152	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ z ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) e. X )
51	13, 49, 14, 50	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) e. X )
52	11, 48, 19, 51	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
53	46, 52	oveq12d 5936	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
54	36, 43, 53	3eqtr4d 2236	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) )
55	1, 1, 2, 2, 3, 3, 12, 54	isghmd 13322	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F e. ( G GrpHom G ) )
56	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> G e. Grp )
57		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
58	1, 57	grpinvcl 13120	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
59	58	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> y e. X )
61		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> A e. X )
62	1, 2, 56, 60, 61	grpcld 13086	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( y .+ A ) e. X )
63	1, 2, 56, 59, 62	grpcld 13086	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) e. X )
64	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> G e. Grp )
65	62	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y .+ A ) e. X )
66	6	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A .+ x ) e. X )
67	58	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
68	1, 2	grplcan 13134	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( y .+ A ) e. X /\ ( A .+ x ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
69	64, 65, 66, 67, 68	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
70		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
71	1, 2, 70, 57	grplinv 13122	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
73	72	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
74		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A e. X )
75		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
76	1, 2	grpass 13081	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ A e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
77	64, 67, 74, 75, 76	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
78	1, 2, 70	grplid 13103	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
79	78	ad2ant2r 509	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
80	73, 77, 79	3eqtr3rd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
81	80	eqeq2d 2205	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) ) )
82		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
83	1, 2, 8	grpsubadd 13160	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ x ) e. X /\ A e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
84	64, 66, 74, 82, 83	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
85	69, 81, 84	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y ) )
86		eqcom 2195	. . . 4 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x )
87		eqcom 2195	. . . 4 |- ( y = ( ( A .+ x ) .- A ) <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y )
88	85, 86, 87	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> y = ( ( A .+ x ) .- A ) ) )
89	11, 10, 63, 88	f1o2d 6123	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X -1-1-onto-> X )
90	55, 89	jca 306	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4090   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Grpcgrp 13072   invgcminusg 13073   -gcsg 13074   GrpHom cghm 13310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-ghm 13311

This theorem is referenced by:  conjsubg  13347  conjsubgen  13348