Theorem conjghm 13406

Description: Conjugation is an automorphism of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conjghm.x	|- X = ( Base ` G )
conjghm.p	|- .+ = ( +g ` G )
conjghm.m	|- .- = ( -g ` G )
conjghm.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )

Assertion

Ref	Expression
conjghm	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .+   x, A   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem conjghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conjghm.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		conjghm.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> G e. Grp )
5	1, 2	grpcl 13140	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
6	5	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
7		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> A e. X )
8		conjghm.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
9	1, 8	grpsubcl 13212	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ x ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
11		conjghm.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )
12	10, 11	fmptd 5716	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X --> X )
13	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> G e. Grp )
14		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> A e. X )
15		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
16	1, 2, 13, 14, 15	grpcld 13146	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ y ) e. X )
17	1, 8	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
18	13, 16, 14, 17	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
19		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
20	1, 8	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ A e. X ) -> ( z .- A ) e. X )
21	13, 19, 14, 20	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z .- A ) e. X )
22	1, 2	grpass 13141	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( A .+ y ) .- A ) e. X /\ A e. X /\ ( z .- A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
23	13, 18, 14, 21, 22	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
24	1, 2, 8	grpnpcan 13224	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
25	13, 16, 14, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
26	25	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
27	1, 2, 8	grpaddsubass 13222	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ y ) e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
28	13, 16, 19, 14, 27	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
29	1, 2	grpass 13141	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
30	13, 14, 15, 19, 29	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
31	30	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
32	26, 28, 31	3eqtr2rd 2236	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) )
33	1, 2, 8	grpaddsubass 13222	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
34	13, 14, 19, 14, 33	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
35	34	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
36	23, 32, 35	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
37		oveq2 5930	. . . . . 6 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( A .+ x ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
38	37	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
39	1, 2, 13, 15, 19	grpcld 13146	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .+ z ) e. X )
40	1, 2, 13, 14, 39	grpcld 13146	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ ( y .+ z ) ) e. X )
41	1, 8	grpsubcl 13212	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ ( y .+ z ) ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) e. X )
42	13, 40, 14, 41	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) e. X )
43	11, 38, 39, 42	fvmptd3 5655	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
44		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A .+ x ) = ( A .+ y ) )
45	44	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
46	11, 45, 15, 18	fvmptd3 5655	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` y ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
47		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A .+ x ) = ( A .+ z ) )
48	47	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
49	1, 2, 13, 14, 19	grpcld 13146	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ z ) e. X )
50	1, 8	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ z ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) e. X )
51	13, 49, 14, 50	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) e. X )
52	11, 48, 19, 51	fvmptd3 5655	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
53	46, 52	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
54	36, 43, 53	3eqtr4d 2239	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) )
55	1, 1, 2, 2, 3, 3, 12, 54	isghmd 13382	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F e. ( G GrpHom G ) )
56	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> G e. Grp )
57		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
58	1, 57	grpinvcl 13180	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
59	58	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> y e. X )
61		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> A e. X )
62	1, 2, 56, 60, 61	grpcld 13146	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( y .+ A ) e. X )
63	1, 2, 56, 59, 62	grpcld 13146	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) e. X )
64	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> G e. Grp )
65	62	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y .+ A ) e. X )
66	6	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A .+ x ) e. X )
67	58	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
68	1, 2	grplcan 13194	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( y .+ A ) e. X /\ ( A .+ x ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
69	64, 65, 66, 67, 68	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
70		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
71	1, 2, 70, 57	grplinv 13182	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
73	72	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
74		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A e. X )
75		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
76	1, 2	grpass 13141	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ A e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
77	64, 67, 74, 75, 76	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
78	1, 2, 70	grplid 13163	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
79	78	ad2ant2r 509	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
80	73, 77, 79	3eqtr3rd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
81	80	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) ) )
82		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
83	1, 2, 8	grpsubadd 13220	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ x ) e. X /\ A e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
84	64, 66, 74, 82, 83	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
85	69, 81, 84	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y ) )
86		eqcom 2198	. . . 4 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x )
87		eqcom 2198	. . . 4 |- ( y = ( ( A .+ x ) .- A ) <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y )
88	85, 86, 87	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> y = ( ( A .+ x ) .- A ) ) )
89	11, 10, 63, 88	f1o2d 6128	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X -1-1-onto-> X )
90	55, 89	jca 306	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4094   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   -gcsg 13134   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-ghm 13371

This theorem is referenced by:  conjsubg  13407  conjsubgen  13408