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Theorem eqger 13014
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 12970 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
2 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
32releqgg 13011 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  Rel  .~  )
41, 3mpancom 422 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 12965 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
8 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 2eqgval 13013 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
101, 6, 9syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 296 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 1010 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 1009 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
141adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 12853 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 12880 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 12869 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 5888 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 12974 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 282 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 276 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 2eqgval 13013 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 479 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 2eqgval 13013 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
331, 6, 32syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 296 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 478 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 1010 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
371adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 12853 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8, 37, 41, 36grpcld 12822 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
435, 8grpass 12818 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4437, 38, 39, 42, 43syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
45 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
465, 8, 45, 7grprinv 12855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4737, 39, 46syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4847oveq1d 5887 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
495, 8grpass 12818 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5037, 39, 41, 36, 49syl13anc 1240 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
515, 8, 45grplid 12838 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5237, 36, 51syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5348, 50, 523eqtr3d 2218 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5453oveq2d 5888 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5544, 54eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
56 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5723adantrr 479 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5835simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
598subgcl 12975 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6155, 60eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
626adantr 276 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
635, 7, 8, 2eqgval 13013 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6437, 62, 63syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6531, 36, 61, 64mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
665, 8, 45, 7grplinv 12854 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
671, 66sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6845subg0cl 12973 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
6968adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7067, 69eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7170ex 115 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7271pm4.71rd 394 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
735, 7, 8, 2eqgval 13013 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
741, 6, 73syl2anc 411 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
75 df-3an 980 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
76 anidm 396 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7776anbi2ci 459 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7875, 77bitri 184 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7974, 78bitrdi 196 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8072, 79bitr4d 191 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
814, 30, 65, 80iserd 6558 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   class class class wbr 4002   Rel wrel 4630   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    Er wer 6529   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810  SubGrpcsubg 12958   ~QG cqg 12960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-er 6532  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-subg 12961  df-eqg 12963
This theorem is referenced by:  eqgen  13017
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