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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > eqger | Unicode version |
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) |
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eqger.x |
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eqger.r |
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eqger |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | subgrcl 12970 |
. . 3
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2 | eqger.r |
. . . 4
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3 | 2 | releqgg 13011 |
. . 3
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4 | 1, 3 | mpancom 422 |
. 2
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5 | eqger.x |
. . . . . . 7
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6 | 5 | subgss 12965 |
. . . . . 6
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7 | eqid 2177 |
. . . . . . 7
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8 | eqid 2177 |
. . . . . . 7
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9 | 5, 7, 8, 2 | eqgval 13013 |
. . . . . 6
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10 | 1, 6, 9 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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11 | 10 | biimpa 296 |
. . . 4
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12 | 11 | simp2d 1010 |
. . 3
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13 | 11 | simp1d 1009 |
. . 3
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14 | 1 | adantr 276 |
. . . . . 6
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15 | 5, 7 | grpinvcl 12853 |
. . . . . . 7
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16 | 14, 13, 15 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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17 | 5, 8, 7 | grpinvadd 12880 |
. . . . . 6
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18 | 14, 16, 12, 17 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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19 | 5, 7 | grpinvinv 12869 |
. . . . . . 7
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20 | 14, 13, 19 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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21 | 20 | oveq2d 5888 |
. . . . 5
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22 | 18, 21 | eqtrd 2210 |
. . . 4
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23 | 11 | simp3d 1011 |
. . . . 5
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24 | 7 | subginvcl 12974 |
. . . . 5
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25 | 23, 24 | syldan 282 |
. . . 4
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26 | 22, 25 | eqeltrrd 2255 |
. . 3
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27 | 6 | adantr 276 |
. . . 4
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28 | 5, 7, 8, 2 | eqgval 13013 |
. . . 4
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29 | 14, 27, 28 | syl2anc 411 |
. . 3
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30 | 12, 13, 26, 29 | mpbir3and 1180 |
. 2
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31 | 13 | adantrr 479 |
. . 3
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32 | 5, 7, 8, 2 | eqgval 13013 |
. . . . . . 7
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33 | 1, 6, 32 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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34 | 33 | biimpa 296 |
. . . . 5
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35 | 34 | adantrl 478 |
. . . 4
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36 | 35 | simp2d 1010 |
. . 3
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37 | 1 | adantr 276 |
. . . . . 6
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38 | 37, 31, 15 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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39 | 12 | adantrr 479 |
. . . . . 6
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40 | 5, 7 | grpinvcl 12853 |
. . . . . . . 8
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41 | 37, 39, 40 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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42 | 5, 8, 37, 41, 36 | grpcld 12822 |
. . . . . 6
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43 | 5, 8 | grpass 12818 |
. . . . . 6
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44 | 37, 38, 39, 42, 43 | syl13anc 1240 |
. . . . 5
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45 | eqid 2177 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 5, 8, 45, 7 | grprinv 12855 |
. . . . . . . . 9
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47 | 37, 39, 46 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | oveq1d 5887 |
. . . . . . 7
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49 | 5, 8 | grpass 12818 |
. . . . . . . 8
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50 | 37, 39, 41, 36, 49 | syl13anc 1240 |
. . . . . . 7
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51 | 5, 8, 45 | grplid 12838 |
. . . . . . . 8
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52 | 37, 36, 51 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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53 | 48, 50, 52 | 3eqtr3d 2218 |
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54 | 53 | oveq2d 5888 |
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55 | 44, 54 | eqtrd 2210 |
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56 | simpl 109 |
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57 | 23 | adantrr 479 |
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58 | 35 | simp3d 1011 |
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59 | 8 | subgcl 12975 |
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60 | 56, 57, 58, 59 | syl3anc 1238 |
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61 | 55, 60 | eqeltrrd 2255 |
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62 | 6 | adantr 276 |
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63 | 5, 7, 8, 2 | eqgval 13013 |
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64 | 37, 62, 63 | syl2anc 411 |
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65 | 31, 36, 61, 64 | mpbir3and 1180 |
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66 | 5, 8, 45, 7 | grplinv 12854 |
. . . . . . 7
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67 | 1, 66 | sylan 283 |
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68 | 45 | subg0cl 12973 |
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69 | 68 | adantr 276 |
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70 | 67, 69 | eqeltrd 2254 |
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71 | 70 | ex 115 |
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72 | 71 | pm4.71rd 394 |
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73 | 5, 7, 8, 2 | eqgval 13013 |
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74 | 1, 6, 73 | syl2anc 411 |
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75 | df-3an 980 |
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76 | anidm 396 |
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77 | 76 | anbi2ci 459 |
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78 | 75, 77 | bitri 184 |
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79 | 74, 78 | bitrdi 196 |
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80 | 72, 79 | bitr4d 191 |
. 2
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81 | 4, 30, 65, 80 | iserd 6558 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4117 ax-sep 4120 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-cnex 7899 ax-resscn 7900 ax-1cn 7901 ax-1re 7902 ax-icn 7903 ax-addcl 7904 ax-addrcl 7905 ax-mulcl 7906 ax-addcom 7908 ax-addass 7910 ax-i2m1 7913 ax-0lt1 7914 ax-0id 7916 ax-rnegex 7917 ax-pre-ltirr 7920 ax-pre-ltadd 7924 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-id 4292 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5177 df-fun 5217 df-fn 5218 df-f 5219 df-f1 5220 df-fo 5221 df-f1o 5222 df-fv 5223 df-riota 5828 df-ov 5875 df-oprab 5876 df-mpo 5877 df-er 6532 df-pnf 7990 df-mnf 7991 df-ltxr 7993 df-inn 8916 df-2 8974 df-ndx 12457 df-slot 12458 df-base 12460 df-sets 12461 df-iress 12462 df-plusg 12541 df-0g 12695 df-mgm 12707 df-sgrp 12740 df-mnd 12750 df-grp 12812 df-minusg 12813 df-subg 12961 df-eqg 12963 |
This theorem is referenced by: eqgen 13017 |
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