Theorem eqger 13776

Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )

Assertion

Ref	Expression
eqger	|- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )

Proof of Theorem eqger

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 13731	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
2		eqger.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG Y )
3	2	releqgg 13772	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. (SubGrp ` G ) ) -> Rel .~ )
4	1, 3	mpancom 422	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Rel .~ )
5		eqger.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
6	5	subgss 13726	. . . . . 6 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
7		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
8		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	5, 7, 8, 2	eqgval 13775	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) ) )
10	1, 6, 9	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) ) )
11	10	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) )
12	11	simp2d 1034	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> y e. X )
13	11	simp1d 1033	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> x e. X )
14	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> G e. Grp )
15	5, 7	grpinvcl 13596	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
16	14, 13, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
17	5, 8, 7	grpinvadd 13626	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) )
18	14, 16, 12, 17	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) )
19	5, 7	grpinvinv 13615	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = x )
20	14, 13, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = x )
21	20	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) )
22	18, 21	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) )
23	11	simp3d 1035	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y )
24	7	subginvcl 13735	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) e. Y )
25	23, 24	syldan 282	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) e. Y )
26	22, 25	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y )
27	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> Y C_ X )
28	5, 7, 8, 2	eqgval 13775	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
29	14, 27, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
30	12, 13, 26, 29	mpbir3and 1204	. 2 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> y .~ x )
31	13	adantrr 479	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x e. X )
32	5, 7, 8, 2	eqgval 13775	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
33	1, 6, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
34	33	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ y .~ z ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) )
35	34	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) )
36	35	simp2d 1034	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> z e. X )
37	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> G e. Grp )
38	37, 31, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
39	12	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> y e. X )
40	5, 7	grpinvcl 13596	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
41	37, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
42	5, 8, 37, 41, 36	grpcld 13562	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X )
43	5, 8	grpass 13557	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
44	37, 38, 39, 42, 43	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
45		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
46	5, 8, 45, 7	grprinv 13599	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
47	37, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
48	47	oveq1d 6022	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) )
49	5, 8	grpass 13557	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y e. X /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
50	37, 39, 41, 36, 49	syl13anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
51	5, 8, 45	grplid 13579	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
52	37, 36, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2270	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = z )
54	53	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) )
55	44, 54	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) )
56		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
57	23	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y )
58	35	simp3d 1035	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y )
59	8	subgcl 13736	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. Y )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. Y )
61	55, 60	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y )
62	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> Y C_ X )
63	5, 7, 8, 2	eqgval 13775	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
64	37, 62, 63	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
65	31, 36, 61, 64	mpbir3and 1204	. 2 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x .~ z )
66	5, 8, 45, 7	grplinv 13598	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) )
67	1, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) )
68	45	subg0cl 13734	. . . . . . 7 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. Y )
69	68	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( 0g ` G ) e. Y )
70	67, 69	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y )
71	70	ex 115	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) )
72	71	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) ) )
73	5, 7, 8, 2	eqgval 13775	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
74	1, 6, 73	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
75		df-3an 1004	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) )
76		anidm 396	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ x e. X ) <-> x e. X )
77	76	anbi2ci 459	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) )
78	75, 77	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) )
79	74, 78	bitrdi 196	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ x <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) ) )
80	72, 79	bitr4d 191	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X <-> x .~ x ) )
81	4, 30, 65, 80	iserd 6714	1 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   Rel wrel 4724   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Er wer 6685   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   0gc0g 13304   Grpcgrp 13548   invgcminusg 13549  SubGrpcsubg 13719   ~_QG cqg 13721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-er 6688  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-subg 13722  df-eqg 13724

This theorem is referenced by:  eqgen  13779  eqg0el  13781  qusgrp  13784  qusadd  13786  qusecsub  13883  2idlcpblrng  14502  qus2idrng  14504  qus1  14505  qusrhm  14507  qusmul2  14508  qusmulrng  14511  zndvds  14628