Theorem eqger 13088

Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )

Assertion

Ref	Expression
eqger	|- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )

Proof of Theorem eqger

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 13044	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
2		eqger.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG Y )
3	2	releqgg 13085	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. (SubGrp ` G ) ) -> Rel .~ )
4	1, 3	mpancom 422	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Rel .~ )
5		eqger.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
6	5	subgss 13039	. . . . . 6 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
7		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
8		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	5, 7, 8, 2	eqgval 13087	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) ) )
10	1, 6, 9	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) ) )
11	10	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( x e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) )
12	11	simp2d 1010	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> y e. X )
13	11	simp1d 1009	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> x e. X )
14	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> G e. Grp )
15	5, 7	grpinvcl 12926	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
16	14, 13, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
17	5, 8, 7	grpinvadd 12953	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) )
18	14, 16, 12, 17	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) )
19	5, 7	grpinvinv 12942	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = x )
20	14, 13, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) = x )
21	20	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) )
22	18, 21	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) )
23	11	simp3d 1011	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y )
24	7	subginvcl 13048	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) e. Y )
25	23, 24	syldan 282	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ) e. Y )
26	22, 25	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y )
27	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> Y C_ X )
28	5, 7, 8, 2	eqgval 13087	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
29	14, 27, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
30	12, 13, 26, 29	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x .~ y ) -> y .~ x )
31	13	adantrr 479	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x e. X )
32	5, 7, 8, 2	eqgval 13087	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
33	1, 6, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
34	33	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ y .~ z ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) )
35	34	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) )
36	35	simp2d 1010	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> z e. X )
37	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> G e. Grp )
38	37, 31, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. X )
39	12	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> y e. X )
40	5, 7	grpinvcl 12926	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
41	37, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
42	5, 8, 37, 41, 36	grpcld 12895	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X )
43	5, 8	grpass 12891	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. X /\ y e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
44	37, 38, 39, 42, 43	syl13anc 1240	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
45		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
46	5, 8, 45, 7	grprinv 12928	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
47	37, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
48	47	oveq1d 5892	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) )
49	5, 8	grpass 12891	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( y e. X /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
50	37, 39, 41, 36, 49	syl13anc 1240	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
51	5, 8, 45	grplid 12911	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
52	37, 36, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2218	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = z )
54	53	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) )
55	44, 54	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) )
56		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
57	23	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y )
58	35	simp3d 1011	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y )
59	8	subgcl 13049	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) e. Y /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. Y )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. Y )
61	55, 60	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y )
62	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> Y C_ X )
63	5, 7, 8, 2	eqgval 13087	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
64	37, 62, 63	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
65	31, 36, 61, 64	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x .~ z )
66	5, 8, 45, 7	grplinv 12927	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) )
67	1, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) )
68	45	subg0cl 13047	. . . . . . 7 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. Y )
69	68	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( 0g ` G ) e. Y )
70	67, 69	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y )
71	70	ex 115	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) )
72	71	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) ) )
73	5, 7, 8, 2	eqgval 13087	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
74	1, 6, 73	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) ) )
75		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) )
76		anidm 396	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ x e. X ) <-> x e. X )
77	76	anbi2ci 459	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) )
78	75, 77	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y ) <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) )
79	74, 78	bitrdi 196	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x .~ x <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) ( +g ` G ) x ) e. Y /\ x e. X ) ) )
80	72, 79	bitr4d 191	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( x e. X <-> x .~ x ) )
81	4, 30, 65, 80	iserd 6563	1 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   Rel wrel 4633   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Er wer 6534   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883  SubGrpcsubg 13032   ~_QG cqg 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-er 6537  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-subg 13035  df-eqg 13037

This theorem is referenced by:  eqgen  13091