Theorem subgcl 13964

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s S ) ) = ( +g ` ( G ↾s S ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
4	3	subggrp 13957	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	4	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
6		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
7	3	subgbas 13958	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
9	6, 8	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
11	10, 8	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13796	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
13		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
14		subgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` G ) )
16		id 19	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
17		subgrcl 13959	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 13460	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
19	18	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
20	19	oveqd 6092	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) )
21	12, 20, 8	3eltr4d 2322	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-subg 13950

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13965  subgmulgcl  13967  issubg2m  13969  subgintm  13978  ssnmz  13991  eqger  14004  eqgcpbl  14008  resghm  14040  ghmpreima  14046  subrngacl  14489  subrgacl  14513  islss4  14691  dflidl2rng  14790