Theorem subgcl 13390

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
2		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s S ) ) = ( +g ` ( G ↾s S ) )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
4	3	subggrp 13383	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	4	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
6		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
7	3	subgbas 13384	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
8	7	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
9	6, 8	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
11	10, 8	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13216	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
13		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
14		subgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` G ) )
16		id 19	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
17		subgrcl 13385	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 12831	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
19	18	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
20	19	oveqd 5942	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) )
21	12, 20, 8	3eltr4d 2280	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   ↾_s cress 12704   +g cplusg 12780   Grpcgrp 13202  SubGrpcsubg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-subg 13376

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13391  subgmulgcl  13393  issubg2m  13395  subgintm  13404  ssnmz  13417  eqger  13430  eqgcpbl  13434  resghm  13466  ghmpreima  13472  subrngacl  13840  subrgacl  13864  islss4  14014  dflidl2rng  14113