Theorem subgcl 13254

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
2		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s S ) ) = ( +g ` ( G ↾s S ) )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
4	3	subggrp 13247	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	4	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
6		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
7	3	subgbas 13248	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
8	7	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
9	6, 8	eleqtrd 2272	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
11	10, 8	eleqtrd 2272	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13086	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
13		eqidd 2194	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
14		subgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` G ) )
16		id 19	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
17		subgrcl 13249	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 12746	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
19	18	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
20	19	oveqd 5935	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) )
21	12, 20, 8	3eltr4d 2277	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619   +g cplusg 12695   Grpcgrp 13072  SubGrpcsubg 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-subg 13240

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13255  subgmulgcl  13257  issubg2m  13259  subgintm  13268  ssnmz  13281  eqger  13294  eqgcpbl  13298  resghm  13330  ghmpreima  13336  subrngacl  13704  subrgacl  13728  islss4  13878  dflidl2rng  13977