Theorem subgcl 13716

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s S ) ) = ( +g ` ( G ↾s S ) )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
4	3	subggrp 13709	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	4	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
6		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
7	3	subgbas 13710	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
8	7	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
9	6, 8	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
11	10, 8	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13542	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
13		eqidd 2230	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
14		subgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` G ) )
16		id 19	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
17		subgrcl 13711	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 13157	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
19	18	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
20	19	oveqd 6017	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` ( G ↾s S ) ) Y ) )
21	12, 20, 8	3eltr4d 2313	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   ↾_s cress 13028   +g cplusg 13105   Grpcgrp 13528  SubGrpcsubg 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-subg 13702

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13717  subgmulgcl  13719  issubg2m  13721  subgintm  13730  ssnmz  13743  eqger  13756  eqgcpbl  13760  resghm  13792  ghmpreima  13798  subrngacl  14166  subrgacl  14190  islss4  14340  dflidl2rng  14439