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Theorem ringpropd 13800
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
ringpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
ringpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
ringpropd.4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
ringpropd |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem ringpropd
Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ph )
2 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. B )
3 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. Grp )
6 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. B )
7 ringpropd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
87ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
96, 8eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` K ) )
10 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. B )
1110, 8eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
123, 4, 5, 9, 11grpcld 13346 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
1312, 8eleqtrrd 2285 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
14 ringpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
1514oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
161, 2, 13, 15syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
17 ringpropd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
1817oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
191, 6, 10, 18syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
2019oveq2d 5960 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
2116, 20eqtrd 2238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> (mulGrp ` K ) e. Mnd )
237adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` K ) )
24 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> K e. Grp )
2524elexd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> K e. _V )
26 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (mulGrp ` K ) = (mulGrp ` K )
2726, 3mgpbasg 13688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. _V -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
2825, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
2923, 28eqtrd 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3029adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
312, 30eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
326, 30eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
33 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` (mulGrp ` K ) ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) )
34 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) )
3533, 34mndcl 13255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3622, 31, 32, 35syl3anc 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
37 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
3826, 37mgpplusgg 13686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. _V -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
3925, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
4140oveqd 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) )
4236, 41, 303eltr4d 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. B )
4310, 30eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4433, 34mndcl 13255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4522, 31, 43, 44syl3anc 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4640oveqd 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
4745, 46, 303eltr4d 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. B )
4817oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) v ) e. B /\ ( u ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
491, 42, 47, 48syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
5014oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
511, 2, 6, 50syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
5214oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
531, 2, 10, 52syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
5451, 53oveq12d 5962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5549, 54eqtrd 2238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5621, 55eqeq12d 2220 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) <-> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) ) )
572, 8eleqtrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` K ) )
583, 4, 5, 57, 9grpcld 13346 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
5958, 8eleqtrrd 2285 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
6014oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
611, 59, 10, 60syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6217oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
631, 2, 6, 62syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
6463oveq1d 5959 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6561, 64eqtrd 2238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6633, 34mndcl 13255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
6722, 32, 43, 66syl3anc 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
6840oveqd 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
6967, 68, 303eltr4d 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. B )
7017oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) w ) e. B /\ ( v ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
711, 47, 69, 70syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
7214oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
731, 6, 10, 72syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
7453, 73oveq12d 5962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7571, 74eqtrd 2238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7665, 75eqeq12d 2220 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) )
7756, 76anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
7877anassrs 400 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
7978ralbidva 2502 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
80792ralbidva 2528 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8123raleqdv 2708 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8223, 81raleqbidv 2718 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8323, 82raleqbidv 2718 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
84 ringpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
8584adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` L ) )
8685raleqdv 2708 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8785, 86raleqbidv 2718 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8885, 87raleqbidv 2718 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8980, 83, 883bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9089pm5.32da 452 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
91 df-3an 983 . . . 4 |- ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
92 df-3an 983 . . . 4 |- ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9390, 91, 923bitr4g 223 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
947adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` K ) )
95 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> K e. Grp )
9695elexd 2785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> K e. _V )
9796, 27syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
9894, 97eqtrd 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
9984adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` L ) )
1007, 84, 17grppropd 13349 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
101100biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> L e. Grp )
102101elexd 2785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> L e. _V )
103 eqid 2205 . . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` L ) = (mulGrp ` L )
104 eqid 2205 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
105103, 104mgpbasg 13688 . . . . . . . . . 10 |- ( L e. _V -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
106102, 105syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
10799, 106eqtrd 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
10814adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
10938oveqd 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. _V -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) )
11096, 109syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) )
111 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
112103, 111mgpplusgg 13686 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. _V -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
113112oveqd 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. _V -> ( x ( .r ` L ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
114102, 113syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( x ( .r ` L ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
115110, 114eqeq12d 2220 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) <-> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
116115adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) <-> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
117108, 116mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
11898, 107, 117mndpropd 13272 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( (mulGrp ` K ) e. Mnd <-> (mulGrp ` L ) e. Mnd ) )
119118pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
120100anbi1d 465 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
121119, 120bitrd 188 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
122121anbi1d 465 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
123 df-3an 983 . . . 4 |- ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
124122, 92, 1233bitr4g 223 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
12593, 124bitrd 188 . 2 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
1263, 26, 4, 37isring 13762 . 2 |- ( K e. Ring <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
127 eqid 2205 . . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
128104, 103, 127, 111isring 13762 . 2 |- ( L e. Ring <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
129125, 126, 1283bitr4g 223 1 |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   Mndcmnd 13248   Grpcgrp 13332  mulGrpcmgp 13682   Ringcrg 13758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-mgp 13683  df-ring 13760
This theorem is referenced by:  crngpropd  13801  ringprop  13802  opprringbg  13842  subrgpropd  14015  rhmpropd  14016  lmodprop2d  14110  sraring  14211
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