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Theorem ringpropd 13009
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
ringpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
ringpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
ringpropd.4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
ringpropd |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem ringpropd
Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ph )
2 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. B )
3 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. Grp )
6 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. B )
7 ringpropd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
87ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
96, 8eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` K ) )
10 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. B )
1110, 8eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
123, 4, 5, 9, 11grpcld 12751 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
1312, 8eleqtrrd 2255 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
14 ringpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
1514oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
161, 2, 13, 15syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
17 ringpropd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
1817oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
191, 6, 10, 18syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
2019oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
2116, 20eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> (mulGrp ` K ) e. Mnd )
237adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` K ) )
24 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> K e. Grp )
2524elexd 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> K e. _V )
26 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (mulGrp ` K ) = (mulGrp ` K )
2726, 3mgpbasg 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. _V -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
2825, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
2923, 28eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3029adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
312, 30eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
326, 30eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
33 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` (mulGrp ` K ) ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) )
34 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) )
3533, 34mndcl 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3622, 31, 32, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
37 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
3826, 37mgpplusgg 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. _V -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
3925, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
4140oveqd 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) )
4236, 41, 303eltr4d 2259 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. B )
4310, 30eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4433, 34mndcl 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4522, 31, 43, 44syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4640oveqd 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
4745, 46, 303eltr4d 2259 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. B )
4817oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) v ) e. B /\ ( u ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
491, 42, 47, 48syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
5014oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
511, 2, 6, 50syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
5214oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
531, 2, 10, 52syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
5451, 53oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5549, 54eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5621, 55eqeq12d 2190 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) <-> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) ) )
572, 8eleqtrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` K ) )
583, 4, 5, 57, 9grpcld 12751 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
5958, 8eleqtrrd 2255 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
6014oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
611, 59, 10, 60syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6217oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
631, 2, 6, 62syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
6463oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6561, 64eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6633, 34mndcl 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
6722, 32, 43, 66syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
6840oveqd 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
6967, 68, 303eltr4d 2259 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. B )
7017oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) w ) e. B /\ ( v ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
711, 47, 69, 70syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
7214oveqrspc2v 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
731, 6, 10, 72syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
7453, 73oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7571, 74eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7665, 75eqeq12d 2190 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) )
7756, 76anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
7877anassrs 400 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
7978ralbidva 2471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
80792ralbidva 2497 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8123raleqdv 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8223, 81raleqbidv 2682 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8323, 82raleqbidv 2682 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
84 ringpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
8584adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> B = ( Base ` L ) )
8685raleqdv 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8785, 86raleqbidv 2682 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8885, 87raleqbidv 2682 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8980, 83, 883bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9089pm5.32da 452 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
91 df-3an 980 . . . 4 |- ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
92 df-3an 980 . . . 4 |- ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9390, 91, 923bitr4g 223 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
947adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` K ) )
95 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> K e. Grp )
9695elexd 2748 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> K e. _V )
9796, 27syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
9894, 97eqtrd 2208 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
9984adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` L ) )
1007, 84, 17grppropd 12754 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
101100biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> L e. Grp )
102101elexd 2748 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> L e. _V )
103 eqid 2175 . . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` L ) = (mulGrp ` L )
104 eqid 2175 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
105103, 104mgpbasg 12930 . . . . . . . . . 10 |- ( L e. _V -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
106102, 105syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
10799, 106eqtrd 2208 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
10814adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
10938oveqd 5882 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. _V -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) )
11096, 109syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) )
111 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
112103, 111mgpplusgg 12929 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. _V -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
113112oveqd 5882 . . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. _V -> ( x ( .r ` L ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
114102, 113syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( x ( .r ` L ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
115110, 114eqeq12d 2190 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) <-> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
116115adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) <-> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
117108, 116mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
11898, 107, 117mndpropd 12706 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Grp ) -> ( (mulGrp ` K ) e. Mnd <-> (mulGrp ` L ) e. Mnd ) )
119118pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
120100anbi1d 465 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
121119, 120bitrd 188 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) ) )
122121anbi1d 465 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
123 df-3an 980 . . . 4 |- ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
124122, 92, 1233bitr4g 223 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
12593, 124bitrd 188 . 2 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
1263, 26, 4, 37isring 12976 . 2 |- ( K e. Ring <-> ( K e. Grp /\ (mulGrp ` K ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
127 eqid 2175 . . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
128104, 103, 127, 111isring 12976 . 2 |- ( L e. Ring <-> ( L e. Grp /\ (mulGrp ` L ) e. Mnd /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
129125, 126, 1283bitr4g 223 1 |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   .rcmulr 12493   Mndcmnd 12682   Grpcgrp 12738  mulGrpcmgp 12925   Ringcrg 12972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-grp 12741  df-mgp 12926  df-ring 12974
This theorem is referenced by:  crngpropd  13010  ringprop  13011
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