Theorem grpsubid 13814

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13776	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
6	5	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
8		grpsubid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	1, 2, 8, 3	grprinv 13781	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13229  +_gcplusg 13307  0_gc0g 13486  Grpcgrp 13730  inv_gcminusg 13731  -_gcsg 13732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-sbg 13735

This theorem is referenced by:  grppncan  13821  grpnpncan0  13826  issubg4m  13927  0nsg  13948  abladdsub4  14048  ablpncan2  14050  ablpnpcan  14054  ablnncan  14055  aprirr  14446  aprnzr  14450  lmodsubid  14512