Theorem aprirr 14045

Description: The apartness relation given by df-apr 14043 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprirr.nz	|- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
aprirr	|- ( ph -> -. X # X )

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	ringgrpd 13767	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
3		aprirr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
4		aprirr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
5	3, 4	eleqtrd 2284	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
6		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2205	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		eqid 2205	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
9	6, 7, 8	grpsubid 13416	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
11		aprirr.nz	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
12	11	neneqd 2397	. . . 4 |- ( ph -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
13		eqid 2205	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
14		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
15	13, 7, 14	0unit 13891	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
17	12, 16	mtbird 675	. . 3 |- ( ph -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
18	10, 17	eqneltrd 2301	. 2 |- ( ph -> -. ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
19		aprirr.ap	. . 3 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
20		eqidd 2206	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
21		eqidd 2206	. . 3 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 14044	. 2 |- ( ph -> ( X # X <-> ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	18, 22	mtbird 675	1 |- ( ph -> -. X # X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   0gc0g 13088   Grpcgrp 13332   -gcsg 13334   1rcur 13721   Ringcrg 13758  Unitcui 13849  #_rcapr 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-tpos 6331  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-srg 13726  df-ring 13760  df-oppr 13830  df-dvdsr 13851  df-unit 13852  df-invr 13883  df-apr 14043

This theorem is referenced by:  aprap  14048