Theorem aprirr 14016

Description: The apartness relation given by df-apr 14014 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprirr.nz	|- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
aprirr	|- ( ph -> -. X # X )

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	ringgrpd 13738	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
3		aprirr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
4		aprirr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
5	3, 4	eleqtrd 2283	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
6		eqid 2204	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2204	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		eqid 2204	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
9	6, 7, 8	grpsubid 13387	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
11		aprirr.nz	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
12	11	neneqd 2396	. . . 4 |- ( ph -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
13		eqid 2204	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
14		eqid 2204	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
15	13, 7, 14	0unit 13862	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
17	12, 16	mtbird 674	. . 3 |- ( ph -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
18	10, 17	eqneltrd 2300	. 2 |- ( ph -> -. ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
19		aprirr.ap	. . 3 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
20		eqidd 2205	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
21		eqidd 2205	. . 3 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 14015	. 2 |- ( ph -> ( X # X <-> ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	18, 22	mtbird 674	1 |- ( ph -> -. X # X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   0gc0g 13059   Grpcgrp 13303   -gcsg 13305   1rcur 13692   Ringcrg 13729  Unitcui 13820  #_rcapr 14013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-tpos 6330  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-iress 12811  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-sbg 13308  df-cmn 13593  df-abl 13594  df-mgp 13654  df-ur 13693  df-srg 13697  df-ring 13731  df-oppr 13801  df-dvdsr 13822  df-unit 13823  df-invr 13854  df-apr 14014

This theorem is referenced by:  aprap  14019