Theorem aprirr 14704

Description: The apartness relation given by df-apr 14699 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = ( #r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprirr.nz	|- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
aprirr	|- ( ph -> -. X # X )

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	ringgrpd 14416	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
3		aprirr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
4		aprirr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
5	3, 4	eleqtrd 2317	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
6		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
9	6, 7, 8	grpsubid 13948	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
10	2, 5, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
11		aprirr.nz	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
12	11	neneqd 2441	. . . 4 |- ( ph -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
13		eqid 2238	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
14		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
15	13, 7, 14	0unit 14545	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
17	12, 16	mtbird 684	. . 3 |- ( ph -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
18	10, 17	eqneltrd 2334	. 2 |- ( ph -> -. ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
19		aprirr.ap	. . 3 |- ( ph -> # = ( #r ` R ) )
20		eqidd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
21		eqidd 2239	. . 3 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 14700	. 2 |- ( ph -> ( X # X <-> ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	18, 22	mtbird 684	1 |- ( ph -> -. X # X )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864   -gcsg 13866   1rcur 14369   Ringcrg 14407  Unitcui 14502   #_r capr 14698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-invr 14537  df-apr 14699

This theorem is used by:  aprap  14707