Theorem aprirr 13779

Description: The apartness relation given by df-apr 13777 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprirr.nz	|- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
aprirr	|- ( ph -> -. X # X )

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	ringgrpd 13501	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
3		aprirr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
4		aprirr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
5	3, 4	eleqtrd 2272	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
6		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2193	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		eqid 2193	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
9	6, 7, 8	grpsubid 13156	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
11		aprirr.nz	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
12	11	neneqd 2385	. . . 4 |- ( ph -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
13		eqid 2193	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
14		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
15	13, 7, 14	0unit 13625	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
17	12, 16	mtbird 674	. . 3 |- ( ph -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
18	10, 17	eqneltrd 2289	. 2 |- ( ph -> -. ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
19		aprirr.ap	. . 3 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
20		eqidd 2194	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
21		eqidd 2194	. . 3 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 13778	. 2 |- ( ph -> ( X # X <-> ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	18, 22	mtbird 674	1 |- ( ph -> -. X # X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   0gc0g 12867   Grpcgrp 13072   -gcsg 13074   1rcur 13455   Ringcrg 13492  Unitcui 13583  #_rcapr 13776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617  df-apr 13777

This theorem is referenced by:  aprap  13782