Theorem aprirr 14429

Description: The apartness relation given by df-apr 14427 for a nonzero ring is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprirr.nz	|- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
aprirr	|- ( ph -> -. X # X )

Proof of Theorem aprirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	ringgrpd 14149	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
3		aprirr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
4		aprirr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
5	3, 4	eleqtrd 2311	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
6		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		eqid 2232	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
9	6, 7, 8	grpsubid 13797	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) X ) = ( 0g ` R ) )
11		aprirr.nz	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
12	11	neneqd 2433	. . . 4 |- ( ph -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
13		eqid 2232	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
14		eqid 2232	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
15	13, 7, 14	0unit 14274	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
17	12, 16	mtbird 680	. . 3 |- ( ph -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
18	10, 17	eqneltrd 2328	. 2 |- ( ph -> -. ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
19		aprirr.ap	. . 3 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
20		eqidd 2233	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
21		eqidd 2233	. . 3 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
22	4, 19, 20, 21, 1, 3, 3	aprval 14428	. 2 |- ( ph -> ( X # X <-> ( X ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	18, 22	mtbird 680	1 |- ( ph -> -. X # X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713   -gcsg 13715   1rcur 14103   Ringcrg 14140  Unitcui 14231  #_rcapr 14426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-tpos 6476  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-srg 14108  df-ring 14142  df-oppr 14212  df-dvdsr 14233  df-unit 14234  df-invr 14266  df-apr 14427

This theorem is referenced by:  aprap  14432