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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqmul1 | Unicode version |
Description: Multiplication property
of the modulo operation. Note that the
multiplier ![]() |
Ref | Expression |
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modqmul1.a |
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modqmul1.b |
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modqmul1.c |
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modqmul1.d |
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modqmul1.dgt0 |
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modqmul1.ab |
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Ref | Expression |
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modqmul1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | modqmul1.ab |
. 2
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2 | modqmul1.a |
. . . . . . 7
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3 | modqmul1.d |
. . . . . . 7
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4 | modqmul1.dgt0 |
. . . . . . 7
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5 | modqval 10327 |
. . . . . . 7
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6 | 2, 3, 4, 5 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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7 | modqmul1.b |
. . . . . . 7
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8 | modqval 10327 |
. . . . . . 7
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9 | 7, 3, 4, 8 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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10 | 6, 9 | eqeq12d 2192 |
. . . . 5
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11 | oveq1 5885 |
. . . . 5
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12 | 10, 11 | biimtrdi 163 |
. . . 4
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13 | qcn 9637 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 3, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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15 | modqmul1.c |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . 9
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17 | 4 | gt0ne0d 8472 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | qdivcl 9646 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 2, 3, 17, 18 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | flqcld 10280 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 20 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . 9
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22 | 14, 16, 21 | mulassd 7984 |
. . . . . . . 8
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23 | 14, 16, 21 | mul32d 8113 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | eqtr3d 2212 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | oveq2d 5894 |
. . . . . 6
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26 | qcn 9637 |
. . . . . . . 8
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27 | 2, 26 | syl 14 |
. . . . . . 7
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28 | 14, 21 | mulcld 7981 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28, 16 | subdird 8375 |
. . . . . 6
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30 | 25, 29 | eqtr4d 2213 |
. . . . 5
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31 | qdivcl 9646 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 7, 3, 17, 31 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | flqcld 10280 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . 9
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35 | 14, 16, 34 | mulassd 7984 |
. . . . . . . 8
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36 | 14, 16, 34 | mul32d 8113 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | eqtr3d 2212 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | oveq2d 5894 |
. . . . . 6
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39 | qcn 9637 |
. . . . . . . 8
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40 | 7, 39 | syl 14 |
. . . . . . 7
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41 | 14, 34 | mulcld 7981 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41, 16 | subdird 8375 |
. . . . . 6
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43 | 38, 42 | eqtr4d 2213 |
. . . . 5
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44 | 30, 43 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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45 | 12, 44 | sylibrd 169 |
. . 3
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46 | oveq1 5885 |
. . . 4
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47 | zq 9629 |
. . . . . . . 8
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48 | 15, 47 | syl 14 |
. . . . . . 7
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49 | qmulcl 9640 |
. . . . . . 7
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50 | 2, 48, 49 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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51 | 15, 20 | zmulcld 9384 |
. . . . . 6
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52 | modqcyc2 10363 |
. . . . . 6
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53 | 50, 51, 3, 4, 52 | syl22anc 1239 |
. . . . 5
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54 | qmulcl 9640 |
. . . . . . 7
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55 | 7, 48, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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56 | 15, 33 | zmulcld 9384 |
. . . . . 6
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57 | modqcyc2 10363 |
. . . . . 6
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58 | 55, 56, 3, 4, 57 | syl22anc 1239 |
. . . . 5
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59 | 53, 58 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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60 | 46, 59 | imbitrid 154 |
. . 3
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61 | 45, 60 | syld 45 |
. 2
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62 | 1, 61 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 ax-arch 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-n0 9180 df-z 9257 df-q 9623 df-rp 9657 df-fl 10273 df-mod 10326 |
This theorem is referenced by: modqmul12d 10381 modqnegd 10382 modqmulmod 10392 eulerthlema 12233 fermltl 12237 odzdvds 12248 lgsdir2lem4 14620 lgsdirprm 14623 |
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