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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqmul1 | Unicode version |
Description: Multiplication property
of the modulo operation. Note that the
multiplier ![]() |
Ref | Expression |
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modqmul1.a |
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modqmul1.b |
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modqmul1.c |
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modqmul1.d |
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modqmul1.dgt0 |
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modqmul1.ab |
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Ref | Expression |
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modqmul1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | modqmul1.ab |
. 2
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2 | modqmul1.a |
. . . . . . 7
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3 | modqmul1.d |
. . . . . . 7
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4 | modqmul1.dgt0 |
. . . . . . 7
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5 | modqval 10338 |
. . . . . . 7
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6 | 2, 3, 4, 5 | syl3anc 1248 |
. . . . . 6
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7 | modqmul1.b |
. . . . . . 7
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8 | modqval 10338 |
. . . . . . 7
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9 | 7, 3, 4, 8 | syl3anc 1248 |
. . . . . 6
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10 | 6, 9 | eqeq12d 2202 |
. . . . 5
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11 | oveq1 5895 |
. . . . 5
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12 | 10, 11 | biimtrdi 163 |
. . . 4
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13 | qcn 9648 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 3, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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15 | modqmul1.c |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | zcnd 9390 |
. . . . . . . . 9
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17 | 4 | gt0ne0d 8483 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | qdivcl 9657 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 2, 3, 17, 18 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | flqcld 10291 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 20 | zcnd 9390 |
. . . . . . . . 9
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22 | 14, 16, 21 | mulassd 7995 |
. . . . . . . 8
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23 | 14, 16, 21 | mul32d 8124 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | eqtr3d 2222 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | oveq2d 5904 |
. . . . . 6
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26 | qcn 9648 |
. . . . . . . 8
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27 | 2, 26 | syl 14 |
. . . . . . 7
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28 | 14, 21 | mulcld 7992 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28, 16 | subdird 8386 |
. . . . . 6
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30 | 25, 29 | eqtr4d 2223 |
. . . . 5
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31 | qdivcl 9657 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 7, 3, 17, 31 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | flqcld 10291 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | zcnd 9390 |
. . . . . . . . 9
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35 | 14, 16, 34 | mulassd 7995 |
. . . . . . . 8
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36 | 14, 16, 34 | mul32d 8124 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | eqtr3d 2222 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | oveq2d 5904 |
. . . . . 6
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39 | qcn 9648 |
. . . . . . . 8
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40 | 7, 39 | syl 14 |
. . . . . . 7
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41 | 14, 34 | mulcld 7992 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41, 16 | subdird 8386 |
. . . . . 6
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43 | 38, 42 | eqtr4d 2223 |
. . . . 5
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44 | 30, 43 | eqeq12d 2202 |
. . . 4
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45 | 12, 44 | sylibrd 169 |
. . 3
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46 | oveq1 5895 |
. . . 4
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47 | zq 9640 |
. . . . . . . 8
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48 | 15, 47 | syl 14 |
. . . . . . 7
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49 | qmulcl 9651 |
. . . . . . 7
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50 | 2, 48, 49 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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51 | 15, 20 | zmulcld 9395 |
. . . . . 6
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52 | modqcyc2 10374 |
. . . . . 6
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53 | 50, 51, 3, 4, 52 | syl22anc 1249 |
. . . . 5
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54 | qmulcl 9651 |
. . . . . . 7
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55 | 7, 48, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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56 | 15, 33 | zmulcld 9395 |
. . . . . 6
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57 | modqcyc2 10374 |
. . . . . 6
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58 | 55, 56, 3, 4, 57 | syl22anc 1249 |
. . . . 5
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59 | 53, 58 | eqeq12d 2202 |
. . . 4
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60 | 46, 59 | imbitrid 154 |
. . 3
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61 | 45, 60 | syld 45 |
. 2
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62 | 1, 61 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-n0 9191 df-z 9268 df-q 9634 df-rp 9668 df-fl 10284 df-mod 10337 |
This theorem is referenced by: modqmul12d 10392 modqnegd 10393 modqmulmod 10403 eulerthlema 12244 fermltl 12248 odzdvds 12259 lgsdir2lem4 14785 lgsdirprm 14788 |
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