Theorem modqge0 10226

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqge0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 984	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
2	1	gt0ne0d 8382	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
3		qdivcl 9547	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
4	2, 3	syld3an3 1265	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
5		flqle 10172	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
7	4	flqcld 10171	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zred 9281	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR )
9		qre 9529	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
10	9	3ad2ant1 1003	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. RR )
11		qre 9529	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
12	11	3ad2ant2 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
13		lemuldiv2 8748	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR /\ A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
14	8, 10, 12, 1, 13	syl112anc 1224	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
15	6, 14	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A )
16	12, 8	remulcld 7903	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. RR )
17	10, 16	subge0d 8405	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) <-> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A ) )
18	15, 17	mpbird 166	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
19		modqval 10218	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20	18, 19	breqtrrd 3992	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   RRcr 7726   0cc0 7727   x. cmul 7732   < clt 7907   <_ cle 7908   - cmin 8041   / cdiv 8540   QQcq 9523   |_cfl 10162   mod cmo 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163  df-q 9524  df-rp 9556  df-fl 10164  df-mod 10217

This theorem is referenced by:  modqelico  10228  zmodcl  10238  modqid2  10245  modqabs  10251  modqmuladdim  10261  modqltm1p1mod  10270  modqsubdir  10287  modqeqmodmin  10288