Theorem modqge0 10593

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqge0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1025	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
2	1	gt0ne0d 8691	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
3		qdivcl 9876	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
4	2, 3	syld3an3 1318	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
5		flqle 10537	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
7	4	flqcld 10536	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zred 9601	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR )
9		qre 9858	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
10	9	3ad2ant1 1044	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. RR )
11		qre 9858	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
12	11	3ad2ant2 1045	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
13		lemuldiv2 9061	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR /\ A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
14	8, 10, 12, 1, 13	syl112anc 1277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
15	6, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A )
16	12, 8	remulcld 8209	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. RR )
17	10, 16	subge0d 8714	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) <-> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A ) )
18	15, 17	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
19		modqval 10585	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20	18, 19	breqtrrd 4116	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   QQcq 9852   |_cfl 10527   mod cmo 10583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584

This theorem is referenced by:  modqelico  10595  zmodcl  10605  modqid2  10612  modqabs  10618  modqmuladdim  10628  modqltm1p1mod  10637  modqsubdir  10654  modqeqmodmin  10655  bitsinv1lem  12521  4sqlem6  12955