Theorem modqge0 10288

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqge0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 994	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
2	1	gt0ne0d 8431	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
3		qdivcl 9602	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
4	2, 3	syld3an3 1278	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
5		flqle 10234	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
7	4	flqcld 10233	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zred 9334	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR )
9		qre 9584	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
10	9	3ad2ant1 1013	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. RR )
11		qre 9584	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
12	11	3ad2ant2 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
13		lemuldiv2 8798	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR /\ A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
14	8, 10, 12, 1, 13	syl112anc 1237	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
15	6, 14	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A )
16	12, 8	remulcld 7950	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. RR )
17	10, 16	subge0d 8454	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) <-> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A ) )
18	15, 17	mpbird 166	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
19		modqval 10280	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20	18, 19	breqtrrd 4017	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   QQcq 9578   |_cfl 10224   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  modqelico  10290  zmodcl  10300  modqid2  10307  modqabs  10313  modqmuladdim  10323  modqltm1p1mod  10332  modqsubdir  10349  modqeqmodmin  10350  4sqlem6  12335