Theorem modqge0 10499

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqge0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1002	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
2	1	gt0ne0d 8605	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
3		qdivcl 9784	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
4	2, 3	syld3an3 1295	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
5		flqle 10443	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) )
7	4	flqcld 10442	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zred 9515	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR )
9		qre 9766	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
10	9	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. RR )
11		qre 9766	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
12	11	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
13		lemuldiv2 8975	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) e. RR /\ A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
14	8, 10, 12, 1, 13	syl112anc 1254	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A <-> ( |_ ` ( A / B ) ) <_ ( A / B ) ) )
15	6, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A )
16	12, 8	remulcld 8123	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. RR )
17	10, 16	subge0d 8628	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) <-> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <_ A ) )
18	15, 17	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
19		modqval 10491	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20	18, 19	breqtrrd 4079	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   x. cmul 7950   < clt 8127   <_ cle 8128   - cmin 8263   / cdiv 8765   QQcq 9760   |_cfl 10433   mod cmo 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-q 9761  df-rp 9796  df-fl 10435  df-mod 10490

This theorem is referenced by:  modqelico  10501  zmodcl  10511  modqid2  10518  modqabs  10524  modqmuladdim  10534  modqltm1p1mod  10543  modqsubdir  10560  modqeqmodmin  10561  bitsinv1lem  12347  4sqlem6  12781