ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modq0 Unicode version

Theorem modq0 10362
Description:  A  mod  B is zero iff  A is evenly divisible by 
B. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modq0  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem modq0
StepHypRef Expression
1 modqval 10357 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
21eqeq1d 2198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  0 ) )
3 qcn 9666 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
433ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  A  e.  CC )
5 qcn 9666 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
653ad2ant2 1021 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  e.  CC )
7 simp3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
87gt0ne0d 8500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
9 qdivcl 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
108, 9syld3an3 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
1110flqcld 10310 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
1211zcnd 9407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
136, 12mulcld 8009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  e.  CC )
144, 13subeq0ad 8309 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  =  0  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
152, 14bitrd 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
16 qre 9657 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
17163ad2ant2 1021 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR )
1817, 7gt0ap0d 8617 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B #  0 )
194, 12, 6, 18divmulap2d 8812 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( |_
`  ( A  /  B ) )  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
20 eqcom 2191 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  =  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  ( A  /  B ) )
2119, 20bitr3di 195 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  ( A  /  B ) ) )
2215, 21bitrd 188 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B
) ) )
23 flqidz 10319 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B )  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
2410, 23syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B )  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
2522, 24bitrd 188 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842    x. cmul 7847    < clt 8023    - cmin 8159    / cdiv 8660   ZZcz 9284   QQcq 9651   |_cfl 10301    mod cmo 10355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356
This theorem is referenced by:  mulqmod0  10363  negqmod0  10364  modqid0  10383  q2txmodxeq0  10417  addmodlteq  10431  dvdsval3  11833
  Copyright terms: Public domain W3C validator