ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modq0 Unicode version

Theorem modq0 10278
Description:  A  mod  B is zero iff  A is evenly divisible by 
B. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modq0  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem modq0
StepHypRef Expression
1 modqval 10273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
21eqeq1d 2179 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  0 ) )
3 qcn 9586 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
433ad2ant1 1013 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  A  e.  CC )
5 qcn 9586 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
653ad2ant2 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  e.  CC )
7 simp3 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
87gt0ne0d 8424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
9 qdivcl 9595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
108, 9syld3an3 1278 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
1110flqcld 10226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
1211zcnd 9328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
136, 12mulcld 7933 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  e.  CC )
144, 13subeq0ad 8233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  =  0  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
152, 14bitrd 187 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
16 qre 9577 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
17163ad2ant2 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR )
1817, 7gt0ap0d 8541 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B #  0 )
194, 12, 6, 18divmulap2d 8734 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( |_
`  ( A  /  B ) )  <->  A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
20 eqcom 2172 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  =  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  ( A  /  B ) )
2119, 20bitr3di 194 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  =  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  ( A  /  B ) ) )
2215, 21bitrd 187 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B
) ) )
23 flqidz 10235 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B )  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
2410, 23syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B )  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
2522, 24bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  mod  B
)  =  0  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7765   RRcr 7766   0cc0 7767    x. cmul 7772    < clt 7947    - cmin 8083    / cdiv 8582   ZZcz 9205   QQcq 9571   |_cfl 10217    mod cmo 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272
This theorem is referenced by:  mulqmod0  10279  negqmod0  10280  modqid0  10299  q2txmodxeq0  10333  addmodlteq  10347  dvdsval3  11746
  Copyright terms: Public domain W3C validator