Theorem modq0 10362

Description: A mod B is zero iff A is evenly divisible by B. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modq0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A / B ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem modq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqval 10357	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
2	1	eqeq1d 2198	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = 0 ) )
3		qcn 9666	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
4	3	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
5		qcn 9666	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
6	5	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
7		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
8	7	gt0ne0d 8500	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
9		qdivcl 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
10	8, 9	syld3an3 1294	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
11	10	flqcld 10310	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
12	11	zcnd 9407	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
13	6, 12	mulcld 8009	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
14	4, 13	subeq0ad 8309	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = 0 <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
15	2, 14	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
16		qre 9657	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
17	16	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
18	17, 7	gt0ap0d 8617	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B # 0 )
19	4, 12, 6, 18	divmulap2d 8812	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20		eqcom 2191	. . . 4 |- ( ( A / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) )
21	19, 20	bitr3di 195	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) ) )
22	15, 21	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) ) )
23		flqidz 10319	. . 3 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
24	10, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
25	22, 24	bitrd 188	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A / B ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   x. cmul 7847   < clt 8023   - cmin 8159   / cdiv 8660   ZZcz 9284   QQcq 9651   |_cfl 10301   mod cmo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356

This theorem is referenced by:  mulqmod0  10363  negqmod0  10364  modqid0  10383  q2txmodxeq0  10417  addmodlteq  10431  dvdsval3  11833