Theorem modq0 10289

Description: A mod B is zero iff A is evenly divisible by B. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modq0	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A / B ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem modq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqval 10284	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
2	1	eqeq1d 2180	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = 0 ) )
3		qcn 9597	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
4	3	3ad2ant1 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
5		qcn 9597	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
6	5	3ad2ant2 1015	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
7		simp3 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
8	7	gt0ne0d 8435	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
9		qdivcl 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
10	8, 9	syld3an3 1279	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
11	10	flqcld 10237	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
12	11	zcnd 9339	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
13	6, 12	mulcld 7944	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
14	4, 13	subeq0ad 8244	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = 0 <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
15	2, 14	bitrd 187	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
16		qre 9588	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
17	16	3ad2ant2 1015	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
18	17, 7	gt0ap0d 8552	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B # 0 )
19	4, 12, 6, 18	divmulap2d 8745	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) <-> A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
20		eqcom 2173	. . . 4 |- ( ( A / B ) = ( |_ ` ( A / B ) ) <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) )
21	19, 20	bitr3di 194	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A = ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) ) )
22	15, 21	bitrd 187	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) ) )
23		flqidz 10246	. . 3 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
24	10, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = ( A / B ) <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
25	22, 24	bitrd 187	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = 0 <-> ( A / B ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   =/= wne 2341   class class class wbr 3990   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   CCcc 7776   RRcr 7777   0cc0 7778   x. cmul 7783   < clt 7958   - cmin 8094   / cdiv 8593   ZZcz 9216   QQcq 9582   |_cfl 10228   mod cmo 10282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-q 9583  df-rp 9615  df-fl 10230  df-mod 10283

This theorem is referenced by:  mulqmod0  10290  negqmod0  10291  modqid0  10310  q2txmodxeq0  10344  addmodlteq  10358  dvdsval3  11757