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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqsubdir | Unicode version |
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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modqsubdir |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpll 527 |
. . . . 5
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2 | simprl 529 |
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3 | simprr 531 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | modqcld 10345 |
. . . 4
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5 | qre 9642 |
. . . 4
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6 | 4, 5 | syl 14 |
. . 3
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7 | simplr 528 |
. . . . 5
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8 | 7, 2, 3 | modqcld 10345 |
. . . 4
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9 | qre 9642 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | 6, 10 | subge0d 8509 |
. 2
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12 | qsubcl 9655 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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14 | 3 | gt0ne0d 8486 |
. . . . . . . . . 10
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15 | qdivcl 9660 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 1, 2, 14, 15 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | flqcld 10294 |
. . . . . . . 8
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18 | qdivcl 9660 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 7, 2, 14, 18 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | flqcld 10294 |
. . . . . . . 8
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21 | 17, 20 | zsubcld 9397 |
. . . . . . 7
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22 | modqcyc2 10377 |
. . . . . . 7
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23 | 13, 21, 2, 3, 22 | syl22anc 1249 |
. . . . . 6
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24 | qcn 9651 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 1, 24 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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26 | qcn 9651 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 7, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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28 | zq 9643 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 17, 28 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | qmulcl 9654 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 2, 29, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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32 | qcn 9651 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 31, 32 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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34 | zq 9643 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 20, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | qmulcl 9654 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 2, 35, 36 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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38 | qcn 9651 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 37, 38 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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40 | 25, 27, 33, 39 | sub4d 8334 |
. . . . . . . 8
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41 | qcn 9651 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 2, 41 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 17 | zcnd 9393 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 20 | zcnd 9393 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 42, 43, 44 | subdid 8388 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | oveq2d 5906 |
. . . . . . . 8
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47 | modqval 10341 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 1, 2, 3, 47 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . 9
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49 | modqval 10341 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 7, 2, 3, 49 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . . 9
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51 | 48, 50 | oveq12d 5908 |
. . . . . . . 8
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52 | 40, 46, 51 | 3eqtr4d 2231 |
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53 | 52 | oveq1d 5905 |
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54 | 23, 53 | eqtr3d 2223 |
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55 | 54 | adantr 276 |
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56 | qsubcl 9655 |
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57 | 4, 8, 56 | syl2anc 411 |
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58 | 57 | adantr 276 |
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59 | 2 | adantr 276 |
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60 | simpr 110 |
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61 | 6, 10 | resubcld 8355 |
. . . . . . 7
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62 | qre 9642 |
. . . . . . . 8
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63 | 2, 62 | syl 14 |
. . . . . . 7
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64 | modqge0 10349 |
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65 | 7, 2, 3, 64 | syl3anc 1248 |
. . . . . . . 8
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66 | 6, 10 | subge02d 8511 |
. . . . . . . 8
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67 | 65, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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68 | modqlt 10350 |
. . . . . . . 8
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69 | 1, 2, 3, 68 | syl3anc 1248 |
. . . . . . 7
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70 | 61, 6, 63, 67, 69 | lelttrd 8099 |
. . . . . 6
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71 | 70 | adantr 276 |
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72 | modqid 10366 |
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73 | 58, 59, 60, 71, 72 | syl22anc 1249 |
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74 | 55, 73 | eqtrd 2221 |
. . 3
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75 | modqge0 10349 |
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76 | 13, 2, 3, 75 | syl3anc 1248 |
. . . . 5
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77 | 76 | adantr 276 |
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78 | simpr 110 |
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79 | 77, 78 | breqtrd 4043 |
. . 3
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80 | 74, 79 | impbida 596 |
. 2
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81 | 11, 80 | bitr3d 190 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-sep 4135 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 ax-setind 4550 ax-cnex 7919 ax-resscn 7920 ax-1cn 7921 ax-1re 7922 ax-icn 7923 ax-addcl 7924 ax-addrcl 7925 ax-mulcl 7926 ax-mulrcl 7927 ax-addcom 7928 ax-mulcom 7929 ax-addass 7930 ax-mulass 7931 ax-distr 7932 ax-i2m1 7933 ax-0lt1 7934 ax-1rid 7935 ax-0id 7936 ax-rnegex 7937 ax-precex 7938 ax-cnre 7939 ax-pre-ltirr 7940 ax-pre-ltwlin 7941 ax-pre-lttrn 7942 ax-pre-apti 7943 ax-pre-ltadd 7944 ax-pre-mulgt0 7945 ax-pre-mulext 7946 ax-arch 7947 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ne 2360 df-nel 2455 df-ral 2472 df-rex 2473 df-reu 2474 df-rmo 2475 df-rab 2476 df-v 2753 df-sbc 2977 df-csb 3072 df-dif 3145 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-iun 3902 df-br 4018 df-opab 4079 df-mpt 4080 df-id 4307 df-po 4310 df-iso 4311 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-co 4649 df-dm 4650 df-rn 4651 df-res 4652 df-ima 4653 df-iota 5192 df-fun 5232 df-fn 5233 df-f 5234 df-fv 5238 df-riota 5846 df-ov 5893 df-oprab 5894 df-mpo 5895 df-1st 6158 df-2nd 6159 df-pnf 8011 df-mnf 8012 df-xr 8013 df-ltxr 8014 df-le 8015 df-sub 8147 df-neg 8148 df-reap 8549 df-ap 8556 df-div 8647 df-inn 8937 df-n0 9194 df-z 9271 df-q 9637 df-rp 9671 df-fl 10287 df-mod 10340 |
This theorem is referenced by: modqeqmodmin 10411 |
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