Theorem modqsubdir 10808

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. QQ )
3		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
4	1, 2, 3	modqcld 10743	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. QQ )
5		qre 10004	. . . 4 |- ( ( A mod C ) e. QQ -> ( A mod C ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. RR )
7		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. QQ )
8	7, 2, 3	modqcld 10743	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. QQ )
9		qre 10004	. . . 4 |- ( ( B mod C ) e. QQ -> ( B mod C ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. RR )
11	6, 10	subge0d 8853	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( B mod C ) <_ ( A mod C ) ) )
12		qsubcl 10017	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
14	3	gt0ne0d 8830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
15		qdivcl 10022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. QQ )
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. QQ )
17	16	flqcld 10690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ )
18		qdivcl 10022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. QQ )
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. QQ )
20	19	flqcld 10690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ )
21	17, 20	zsubcld 9752	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ )
22		modqcyc2 10775	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A - B ) e. QQ /\ ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1279	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
24		qcn 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. CC )
26		qcn 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
28		zq 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
30		qmulcl 10016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
31	2, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
32		qcn 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
34		zq 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
36		qmulcl 10016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
37	2, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
38		qcn 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
41		qcn 10013	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
43	17	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. CC )
44	20	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. CC )
45	42, 43, 44	subdid 8731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) = ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
47		modqval 10739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
49		modqval 10739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
51	48, 50	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
53	52	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
54	23, 53	eqtr3d 2273	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
55	54	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
56		qsubcl 10017	. . . . . . 7 |- ( ( ( A mod C ) e. QQ /\ ( B mod C ) e. QQ ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
57	4, 8, 56	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
59	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> C e. QQ )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
61	6, 10	resubcld 8698	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. RR )
62		qre 10004	. . . . . . . 8 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
64		modqge0 10747	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
66	6, 10	subge02d 8855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( B mod C ) <-> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) ) )
67	65, 66	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) )
68		modqlt 10748	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) < C )
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) < C )
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 8441	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
71	70	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
72		modqid 10764	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) /\ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
74	55, 73	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
75		modqge0 10747	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
77	76	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
78		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
79	77, 78	breqtrd 4151	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
80	74, 79	impbida 604	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )
81	11, 80	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   ZZcz 9623   QQcq 9998   |_cfl 10681   mod cmo 10737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10809  4sqlem12  13159