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Theorem modqsubdir 10410
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  QQ )
2 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  QQ )
3 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <  C )
41, 2, 3modqcld 10345 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  QQ )
5 qre 9642 . . . 4  |-  ( ( A  mod  C )  e.  QQ  ->  ( A  mod  C )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  RR )
7 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  QQ )
87, 2, 3modqcld 10345 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  QQ )
9 qre 9642 . . . 4  |-  ( ( B  mod  C )  e.  QQ  ->  ( B  mod  C )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  RR )
116, 10subge0d 8509 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( B  mod  C
)  <_  ( A  mod  C ) ) )
12 qsubcl 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
1312adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  QQ )
143gt0ne0d 8486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  =/=  0 )
15 qdivcl 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  QQ )
161, 2, 14, 15syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  /  C
)  e.  QQ )
1716flqcld 10294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ )
18 qdivcl 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
197, 2, 14, 18syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  /  C
)  e.  QQ )
2019flqcld 10294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ )
2117, 20zsubcld 9397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )
22 modqcyc2 10377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  -  ( C  x.  ( ( |_
`  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  mod 
C )  =  ( ( A  -  B
)  mod  C )
)
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( A  -  B )  mod 
C ) )
24 qcn 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  CC )
26 qcn 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  CC )
28 zq 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
30 qmulcl 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
312, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
32 qcn 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  e.  CC )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  CC )
34 zq 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
36 qmulcl 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
372, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
38 qcn 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) )  e.  CC )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  CC )
4025, 27, 33, 39sub4d 8334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
41 qcn 9651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  CC )
4317zcnd 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  CC )
4420zcnd 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  CC )
4542, 43, 44subdid 8388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
4645oveq2d 5906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
47 modqval 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) ) ) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) ) )
49 modqval 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( B  mod  C )  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )
507, 2, 3, 49syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
5148, 50oveq12d 5908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
5240, 46, 513eqtr4d 2231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
5352oveq1d 5905 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
5423, 53eqtr3d 2223 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C ) )
5554adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
56 qsubcl 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  mod  C
)  e.  QQ  /\  ( B  mod  C )  e.  QQ )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
574, 8, 56syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
5857adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
592adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  C  e.  QQ )
60 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
616, 10resubcld 8355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  RR )
62 qre 9642 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
632, 62syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  RR )
64 modqge0 10349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( B  mod  C
) )
657, 2, 3, 64syl3anc 1248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( B  mod  C ) )
666, 10subge02d 8511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  ( B  mod  C )  <->  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) ) )
6765, 66mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) )
68 modqlt 10350 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  < 
C )
691, 2, 3, 68syl3anc 1248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  <  C )
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 8099 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
7170adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
72 modqid 10366 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  /\  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C ) )  ->  ( (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1249 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7455, 73eqtrd 2221 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
75 modqge0 10349 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C
) )
7613, 2, 3, 75syl3anc 1248 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
7776adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
78 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7977, 78breqtrd 4043 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
8074, 79impbida 596 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) ) )
8111, 80bitr3d 190 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2159    =/= wne 2359   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   CCcc 7826   RRcr 7827   0cc0 7828    x. cmul 7833    < clt 8009    <_ cle 8010    - cmin 8145    / cdiv 8646   ZZcz 9270   QQcq 9636   |_cfl 10285    mod cmo 10339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-q 9637  df-rp 9671  df-fl 10287  df-mod 10340
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10411
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