Theorem modqsubdir 10701

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. QQ )
3		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
4	1, 2, 3	modqcld 10636	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. QQ )
5		qre 9903	. . . 4 |- ( ( A mod C ) e. QQ -> ( A mod C ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. RR )
7		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. QQ )
8	7, 2, 3	modqcld 10636	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. QQ )
9		qre 9903	. . . 4 |- ( ( B mod C ) e. QQ -> ( B mod C ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. RR )
11	6, 10	subge0d 8757	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( B mod C ) <_ ( A mod C ) ) )
12		qsubcl 9916	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
14	3	gt0ne0d 8734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
15		qdivcl 9921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. QQ )
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. QQ )
17	16	flqcld 10583	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ )
18		qdivcl 9921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. QQ )
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. QQ )
20	19	flqcld 10583	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ )
21	17, 20	zsubcld 9651	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ )
22		modqcyc2 10668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A - B ) e. QQ /\ ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
24		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. CC )
26		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
28		zq 9904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
30		qmulcl 9915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
31	2, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
32		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
34		zq 9904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
36		qmulcl 9915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
37	2, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
38		qcn 9912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8581	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
41		qcn 9912	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
43	17	zcnd 9647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. CC )
44	20	zcnd 9647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. CC )
45	42, 43, 44	subdid 8635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) = ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
47		modqval 10632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
49		modqval 10632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
51	48, 50	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
53	52	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
54	23, 53	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
55	54	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
56		qsubcl 9916	. . . . . . 7 |- ( ( ( A mod C ) e. QQ /\ ( B mod C ) e. QQ ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
57	4, 8, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
59	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> C e. QQ )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
61	6, 10	resubcld 8602	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. RR )
62		qre 9903	. . . . . . . 8 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
64		modqge0 10640	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
66	6, 10	subge02d 8759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( B mod C ) <-> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) ) )
67	65, 66	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) )
68		modqlt 10641	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) < C )
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) < C )
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
71	70	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
72		modqid 10657	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) /\ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
74	55, 73	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
75		modqge0 10640	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
77	76	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
78		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
79	77, 78	breqtrd 4119	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
80	74, 79	impbida 600	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )
81	11, 80	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   / cdiv 8894   ZZcz 9523   QQcq 9897   |_cfl 10574   mod cmo 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898  df-rp 9933  df-fl 10576  df-mod 10631

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10702  4sqlem12  13038