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Theorem modqsubdir 9765
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  QQ )
2 simprl 498 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  QQ )
3 simprr 499 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <  C )
41, 2, 3modqcld 9700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  QQ )
5 qre 9079 . . . 4  |-  ( ( A  mod  C )  e.  QQ  ->  ( A  mod  C )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  RR )
7 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  QQ )
87, 2, 3modqcld 9700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  QQ )
9 qre 9079 . . . 4  |-  ( ( B  mod  C )  e.  QQ  ->  ( B  mod  C )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  RR )
116, 10subge0d 7988 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( B  mod  C
)  <_  ( A  mod  C ) ) )
12 qsubcl 9092 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
1312adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  QQ )
143gt0ne0d 7966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  =/=  0 )
15 qdivcl 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  QQ )
161, 2, 14, 15syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  /  C
)  e.  QQ )
1716flqcld 9649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ )
18 qdivcl 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
197, 2, 14, 18syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  /  C
)  e.  QQ )
2019flqcld 9649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ )
2117, 20zsubcld 8843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )
22 modqcyc2 9732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  -  ( C  x.  ( ( |_
`  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  mod 
C )  =  ( ( A  -  B
)  mod  C )
)
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( A  -  B )  mod 
C ) )
24 qcn 9088 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  CC )
26 qcn 9088 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  CC )
28 zq 9080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
30 qmulcl 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
312, 29, 30syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
32 qcn 9088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  e.  CC )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  CC )
34 zq 9080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
36 qmulcl 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
372, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
38 qcn 9088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) )  e.  CC )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  CC )
4025, 27, 33, 39sub4d 7821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
41 qcn 9088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  CC )
4317zcnd 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  CC )
4420zcnd 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  CC )
4542, 43, 44subdid 7871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
4645oveq2d 5650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
47 modqval 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) ) ) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) ) )
49 modqval 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( B  mod  C )  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )
507, 2, 3, 49syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
5148, 50oveq12d 5652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
5240, 46, 513eqtr4d 2130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
5352oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
5423, 53eqtr3d 2122 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C ) )
5554adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
56 qsubcl 9092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  mod  C
)  e.  QQ  /\  ( B  mod  C )  e.  QQ )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
574, 8, 56syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
5857adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
592adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  C  e.  QQ )
60 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
616, 10resubcld 7838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  RR )
62 qre 9079 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
632, 62syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  RR )
64 modqge0 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( B  mod  C
) )
657, 2, 3, 64syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( B  mod  C ) )
666, 10subge02d 7990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  ( B  mod  C )  <->  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) ) )
6765, 66mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) )
68 modqlt 9705 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  < 
C )
691, 2, 3, 68syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  <  C )
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 7587 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
7170adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
72 modqid 9721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  /\  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C ) )  ->  ( (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7455, 73eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
75 modqge0 9704 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C
) )
7613, 2, 3, 75syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
7776adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
78 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7977, 78breqtrd 3861 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
8074, 79impbida 563 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) ) )
8111, 80bitr3d 188 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632    / cdiv 8113   ZZcz 8720   QQcq 9073   |_cfl 9640    mod cmo 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  9766
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