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Theorem modqsubdir 10117
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 501 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  QQ )
2 simprl 503 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  QQ )
3 simprr 504 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <  C )
41, 2, 3modqcld 10052 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  QQ )
5 qre 9369 . . . 4  |-  ( ( A  mod  C )  e.  QQ  ->  ( A  mod  C )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  RR )
7 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  QQ )
87, 2, 3modqcld 10052 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  QQ )
9 qre 9369 . . . 4  |-  ( ( B  mod  C )  e.  QQ  ->  ( B  mod  C )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  RR )
116, 10subge0d 8260 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( B  mod  C
)  <_  ( A  mod  C ) ) )
12 qsubcl 9382 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
1312adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  QQ )
143gt0ne0d 8238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  =/=  0 )
15 qdivcl 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  QQ )
161, 2, 14, 15syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  /  C
)  e.  QQ )
1716flqcld 10001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ )
18 qdivcl 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
197, 2, 14, 18syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  /  C
)  e.  QQ )
2019flqcld 10001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ )
2117, 20zsubcld 9132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )
22 modqcyc2 10084 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  -  ( C  x.  ( ( |_
`  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  mod 
C )  =  ( ( A  -  B
)  mod  C )
)
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( A  -  B )  mod 
C ) )
24 qcn 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  CC )
26 qcn 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  CC )
28 zq 9370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
30 qmulcl 9381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
312, 29, 30syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
32 qcn 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  e.  CC )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  CC )
34 zq 9370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
36 qmulcl 9381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
372, 35, 36syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
38 qcn 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) )  e.  CC )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  CC )
4025, 27, 33, 39sub4d 8086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
41 qcn 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  CC )
4317zcnd 9128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  CC )
4420zcnd 9128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  CC )
4542, 43, 44subdid 8140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
4645oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
47 modqval 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) ) ) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) ) )
49 modqval 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( B  mod  C )  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )
507, 2, 3, 49syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
5148, 50oveq12d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
5240, 46, 513eqtr4d 2158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
5352oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
5423, 53eqtr3d 2150 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C ) )
5554adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
56 qsubcl 9382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  mod  C
)  e.  QQ  /\  ( B  mod  C )  e.  QQ )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
574, 8, 56syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
5857adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
592adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  C  e.  QQ )
60 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
616, 10resubcld 8107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  RR )
62 qre 9369 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
632, 62syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  RR )
64 modqge0 10056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( B  mod  C
) )
657, 2, 3, 64syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( B  mod  C ) )
666, 10subge02d 8262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  ( B  mod  C )  <->  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) ) )
6765, 66mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) )
68 modqlt 10057 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  < 
C )
691, 2, 3, 68syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  <  C )
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 7851 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
7170adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
72 modqid 10073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  /\  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C ) )  ->  ( (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1200 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7455, 73eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
75 modqge0 10056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C
) )
7613, 2, 3, 75syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
7776adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
78 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7977, 78breqtrd 3922 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
8074, 79impbida 568 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) ) )
8111, 80bitr3d 189 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897    / cdiv 8395   ZZcz 9008   QQcq 9363   |_cfl 9992    mod cmo 10046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10118
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