Theorem modqsubdir 10654

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. QQ )
3		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
4	1, 2, 3	modqcld 10589	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. QQ )
5		qre 9858	. . . 4 |- ( ( A mod C ) e. QQ -> ( A mod C ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. RR )
7		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. QQ )
8	7, 2, 3	modqcld 10589	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. QQ )
9		qre 9858	. . . 4 |- ( ( B mod C ) e. QQ -> ( B mod C ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. RR )
11	6, 10	subge0d 8714	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( B mod C ) <_ ( A mod C ) ) )
12		qsubcl 9871	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
14	3	gt0ne0d 8691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
15		qdivcl 9876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. QQ )
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. QQ )
17	16	flqcld 10536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ )
18		qdivcl 9876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. QQ )
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. QQ )
20	19	flqcld 10536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ )
21	17, 20	zsubcld 9606	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ )
22		modqcyc2 10621	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A - B ) e. QQ /\ ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
24		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. CC )
26		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
28		zq 9859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
30		qmulcl 9870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
31	2, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
32		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
34		zq 9859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
36		qmulcl 9870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
37	2, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
38		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
41		qcn 9867	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
43	17	zcnd 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. CC )
44	20	zcnd 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. CC )
45	42, 43, 44	subdid 8592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) = ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
47		modqval 10585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
49		modqval 10585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
51	48, 50	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
53	52	oveq1d 6032	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
54	23, 53	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
55	54	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
56		qsubcl 9871	. . . . . . 7 |- ( ( ( A mod C ) e. QQ /\ ( B mod C ) e. QQ ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
57	4, 8, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
59	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> C e. QQ )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
61	6, 10	resubcld 8559	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. RR )
62		qre 9858	. . . . . . . 8 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
64		modqge0 10593	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
66	6, 10	subge02d 8716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( B mod C ) <-> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) ) )
67	65, 66	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) )
68		modqlt 10594	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) < C )
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) < C )
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 8303	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
71	70	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
72		modqid 10610	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) /\ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
74	55, 73	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
75		modqge0 10593	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
77	76	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
78		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
79	77, 78	breqtrd 4114	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
80	74, 79	impbida 600	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )
81	11, 80	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   ZZcz 9478   QQcq 9852   |_cfl 10527   mod cmo 10583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10655  4sqlem12  12974