Theorem modqsubdir 10285

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. QQ )
3		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
4	1, 2, 3	modqcld 10220	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. QQ )
5		qre 9527	. . . 4 |- ( ( A mod C ) e. QQ -> ( A mod C ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. RR )
7		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. QQ )
8	7, 2, 3	modqcld 10220	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. QQ )
9		qre 9527	. . . 4 |- ( ( B mod C ) e. QQ -> ( B mod C ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. RR )
11	6, 10	subge0d 8404	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( B mod C ) <_ ( A mod C ) ) )
12		qsubcl 9540	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
14	3	gt0ne0d 8381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
15		qdivcl 9545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. QQ )
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. QQ )
17	16	flqcld 10169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ )
18		qdivcl 9545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. QQ )
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. QQ )
20	19	flqcld 10169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ )
21	17, 20	zsubcld 9285	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ )
22		modqcyc2 10252	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A - B ) e. QQ /\ ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
24		qcn 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. CC )
26		qcn 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
28		zq 9528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
30		qmulcl 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
31	2, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
32		qcn 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
34		zq 9528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
36		qmulcl 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
37	2, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
38		qcn 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
41		qcn 9536	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
43	17	zcnd 9281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. CC )
44	20	zcnd 9281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. CC )
45	42, 43, 44	subdid 8283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) = ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 5837	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
47		modqval 10216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
49		modqval 10216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
51	48, 50	oveq12d 5839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2200	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
53	52	oveq1d 5836	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
54	23, 53	eqtr3d 2192	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
55	54	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
56		qsubcl 9540	. . . . . . 7 |- ( ( ( A mod C ) e. QQ /\ ( B mod C ) e. QQ ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
57	4, 8, 56	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
58	57	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
59	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> C e. QQ )
60		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
61	6, 10	resubcld 8250	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. RR )
62		qre 9527	. . . . . . . 8 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
64		modqge0 10224	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
66	6, 10	subge02d 8406	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( B mod C ) <-> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) ) )
67	65, 66	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) )
68		modqlt 10225	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) < C )
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) < C )
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 7994	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
71	70	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
72		modqid 10241	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) /\ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1221	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
74	55, 73	eqtrd 2190	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
75		modqge0 10224	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1220	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
77	76	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
78		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
79	77, 78	breqtrd 3990	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
80	74, 79	impbida 586	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )
81	11, 80	bitr3d 189	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7724   RRcr 7725   0cc0 7726   x. cmul 7731   < clt 7906   <_ cle 7907   - cmin 8040   / cdiv 8539   ZZcz 9161   QQcq 9521   |_cfl 10160   mod cmo 10214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-q 9522  df-rp 9554  df-fl 10162  df-mod 10215

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10286