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Theorem modqsubdir 10392
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  QQ )
2 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  QQ )
3 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <  C )
41, 2, 3modqcld 10327 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  QQ )
5 qre 9624 . . . 4  |-  ( ( A  mod  C )  e.  QQ  ->  ( A  mod  C )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  RR )
7 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  QQ )
87, 2, 3modqcld 10327 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  QQ )
9 qre 9624 . . . 4  |-  ( ( B  mod  C )  e.  QQ  ->  ( B  mod  C )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  RR )
116, 10subge0d 8491 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( B  mod  C
)  <_  ( A  mod  C ) ) )
12 qsubcl 9637 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
1312adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  QQ )
143gt0ne0d 8468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  =/=  0 )
15 qdivcl 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  QQ )
161, 2, 14, 15syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  /  C
)  e.  QQ )
1716flqcld 10276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ )
18 qdivcl 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
197, 2, 14, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  /  C
)  e.  QQ )
2019flqcld 10276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ )
2117, 20zsubcld 9379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )
22 modqcyc2 10359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  -  ( C  x.  ( ( |_
`  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  mod 
C )  =  ( ( A  -  B
)  mod  C )
)
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( A  -  B )  mod 
C ) )
24 qcn 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  CC )
26 qcn 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  CC )
28 zq 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
30 qmulcl 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
312, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
32 qcn 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  e.  CC )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  CC )
34 zq 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
36 qmulcl 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
372, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
38 qcn 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) )  e.  CC )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  CC )
4025, 27, 33, 39sub4d 8316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
41 qcn 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  CC )
4317zcnd 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  CC )
4420zcnd 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  CC )
4542, 43, 44subdid 8370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
47 modqval 10323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) ) ) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) ) )
49 modqval 10323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( B  mod  C )  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )
507, 2, 3, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
5148, 50oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
5240, 46, 513eqtr4d 2220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
5423, 53eqtr3d 2212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C ) )
5554adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
56 qsubcl 9637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  mod  C
)  e.  QQ  /\  ( B  mod  C )  e.  QQ )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
574, 8, 56syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
5857adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
592adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  C  e.  QQ )
60 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
616, 10resubcld 8337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  RR )
62 qre 9624 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
632, 62syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  RR )
64 modqge0 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( B  mod  C
) )
657, 2, 3, 64syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( B  mod  C ) )
666, 10subge02d 8493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  ( B  mod  C )  <->  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) ) )
6765, 66mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) )
68 modqlt 10332 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  < 
C )
691, 2, 3, 68syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  <  C )
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 8081 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
7170adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
72 modqid 10348 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  /\  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C ) )  ->  ( (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7455, 73eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
75 modqge0 10331 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C
) )
7613, 2, 3, 75syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
7776adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
78 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7977, 78breqtrd 4029 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
8074, 79impbida 596 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) ) )
8111, 80bitr3d 190 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810    x. cmul 7815    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127    / cdiv 8628   ZZcz 9252   QQcq 9618   |_cfl 10267    mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10393
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