Theorem flqpmodeq 9797

Description: Partition of a division into its integer part and the remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqpmodeq	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + ( A mod B ) ) = A )

Proof of Theorem flqpmodeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqvalr 9795	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) )
2	1	eqcomd 2094	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) = ( A mod B ) )
3		qcn 9182	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
4	3	3ad2ant1 965	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
5		simp3 946	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
6	5	gt0ne0d 8053	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
7		qdivcl 9191	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
8	6, 7	syld3an3 1220	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
9	8	flqcld 9747	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
10	9	zcnd 8932	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
11		qcn 9182	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
12	11	3ad2ant2 966	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
13	10, 12	mulcld 7571	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) e. CC )
14		modqcl 9796	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) e. QQ )
15		qcn 9182	. . . 4 |- ( ( A mod B ) e. QQ -> ( A mod B ) e. CC )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) e. CC )
17	4, 13, 16	subaddd 7874	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) = ( A mod B ) <-> ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + ( A mod B ) ) = A ) )
18	2, 17	mpbid 146	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + ( A mod B ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   =/= wne 2256   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   + caddc 7416   x. cmul 7418   < clt 7585   - cmin 7716   / cdiv 8202   QQcq 9167   |_cfl 9738   mod cmo 9792

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-q 9168  df-rp 9198  df-fl 9740  df-mod 9793

This theorem is referenced by:  modqmuladd  9836