Theorem modqadd1 10506

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd1.a	|- ( ph -> A e. QQ )
modqadd1.b	|- ( ph -> B e. QQ )
modqadd1.c	|- ( ph -> C e. QQ )
modqadd1.dq	|- ( ph -> D e. QQ )
modqadd1.dgt0	|- ( ph -> 0 < D )
modqadd1.ab	|- ( ph -> ( A mod D ) = ( B mod D ) )

Assertion

Ref	Expression
modqadd1	|- ( ph -> ( ( A + C ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) )

Proof of Theorem modqadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd1.ab	. 2 |- ( ph -> ( A mod D ) = ( B mod D ) )
2		modqadd1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
3		modqadd1.dq	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. QQ )
4		modqadd1.dgt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < D )
5		modqval 10469	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ D e. QQ /\ 0 < D ) -> ( A mod D ) = ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A mod D ) = ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) )
7		modqadd1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. QQ )
8		modqval 10469	. . . . . . 7 |- ( ( B e. QQ /\ D e. QQ /\ 0 < D ) -> ( B mod D ) = ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) )
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B mod D ) = ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) )
10	6, 9	eqeq12d 2220	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A mod D ) = ( B mod D ) <-> ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) ) )
11		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) -> ( ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) + C ) = ( ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) + C ) )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A mod D ) = ( B mod D ) -> ( ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) + C ) = ( ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) + C ) ) )
13		qcn 9755	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
15		modqadd1.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. QQ )
16		qcn 9755	. . . . . . 7 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
18		qcn 9755	. . . . . . . 8 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
19	3, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
20	4	gt0ne0d 8585	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D =/= 0 )
21		qdivcl 9764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ D e. QQ /\ D =/= 0 ) -> ( A / D ) e. QQ )
22	2, 3, 20, 21	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / D ) e. QQ )
23	22	flqcld 10420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( A / D ) ) e. ZZ )
24	23	zcnd 9496	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( A / D ) ) e. CC )
25	19, 24	mulcld 8093	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) e. CC )
26	14, 17, 25	addsubd 8404	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) + C ) )
27		qcn 9755	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
28	7, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
29		qdivcl 9764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ D e. QQ /\ D =/= 0 ) -> ( B / D ) e. QQ )
30	7, 3, 20, 29	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B / D ) e. QQ )
31	30	flqcld 10420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( B / D ) ) e. ZZ )
32	31	zcnd 9496	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( B / D ) ) e. CC )
33	19, 32	mulcld 8093	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) e. CC )
34	28, 17, 33	addsubd 8404	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) = ( ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) + C ) )
35	26, 34	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) <-> ( ( A - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) + C ) = ( ( B - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) + C ) ) )
36	12, 35	sylibrd 169	. . 3 |- ( ph -> ( ( A mod D ) = ( B mod D ) -> ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) ) )
37		oveq1 5951	. . . 4 |- ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) -> ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) mod D ) )
38		qaddcl 9756	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ ) -> ( A + C ) e. QQ )
39	2, 15, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + C ) e. QQ )
40		modqcyc2 10505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A + C ) e. QQ /\ ( |_ ` ( A / D ) ) e. ZZ ) /\ ( D e. QQ /\ 0 < D ) ) -> ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( A + C ) mod D ) )
41	39, 23, 3, 4, 40	syl22anc 1251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( A + C ) mod D ) )
42		qaddcl 9756	. . . . . . 7 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ ) -> ( B + C ) e. QQ )
43	7, 15, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B + C ) e. QQ )
44		modqcyc2 10505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B + C ) e. QQ /\ ( |_ ` ( B / D ) ) e. ZZ ) /\ ( D e. QQ /\ 0 < D ) ) -> ( ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) )
45	43, 31, 3, 4, 44	syl22anc 1251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) )
46	41, 45	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) mod D ) = ( ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) mod D ) <-> ( ( A + C ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) ) )
47	37, 46	imbitrid 154	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + C ) - ( D x. ( |_ ` ( A / D ) ) ) ) = ( ( B + C ) - ( D x. ( |_ ` ( B / D ) ) ) ) -> ( ( A + C ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) ) )
48	36, 47	syld 45	. 2 |- ( ph -> ( ( A mod D ) = ( B mod D ) -> ( ( A + C ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) ) )
49	1, 48	mpd 13	1 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod D ) = ( ( B + C ) mod D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   - cmin 8243   / cdiv 8745   ZZcz 9372   QQcq 9740   |_cfl 10411   mod cmo 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468

This theorem is referenced by:  modqaddabs  10507  modqaddmod  10508  modqadd12d  10525  modqaddmulmod  10536  moddvds  12110  modsubi  12742  lgsvalmod  15496  lgsmod  15503  lgsne0  15515  lgseisen  15551