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Theorem modqid 10134
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  A )

Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  QQ )
2 simplr 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  QQ )
3 0red 7779 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  e.  RR )
4 qre 9429 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 479 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  RR )
6 qre 9429 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
76ad2antlr 480 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  RR )
8 simprl 520 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <_  A )
9 simprr 521 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <  B )
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 7899 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
11 modqval 10109 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
121, 2, 10, 11syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
1310gt0ne0d 8286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  =/=  0 )
14 qdivcl 9447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
151, 2, 13, 14syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
16 qcn 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
17 addid2 7913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
0  +  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B ) )
1817fveq2d 5425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )
20 divge0 8643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <_  ( A  /  B
) )
227recnd 7806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  CC )
2322mulid1d 7795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
249, 23breqtrrd 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <  ( B  x.  1 ) )
25 1red 7793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  1  e.  RR )
26 ltdivmul 8646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  ( B  x.  1 ) ) )
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  (
( A  /  B
)  <  1  <->  A  <  ( B  x.  1 ) ) )
2824, 27mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  /  B )  <  1 )
29 0z 9077 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
30 flqbi2 10076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
) ) )
3129, 15, 30sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  (
( |_ `  (
0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B )  <  1 ) ) )
3221, 28, 31mpbir2and 928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0 )
3319, 32eqtr3d 2174 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 )
3433oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  =  ( B  x.  0 ) )
3522mul01d 8167 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
3634, 35eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  =  0 )
3736oveq2d 5790 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  ( A  -  0 ) )
385recnd 7806 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  CC )
3938subid1d 8074 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
4037, 39eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  A )
4112, 40eqtrd 2172 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    <_ cle 7813    - cmin 7945    / cdiv 8444   ZZcz 9066   QQcq 9423   |_cfl 10053    mod cmo 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108
This theorem is referenced by:  modqid2  10136  q0mod  10140  q1mod  10141  modqabs  10142  mulqaddmodid  10149  m1modnnsub1  10155  modqltm1p1mod  10161  q2submod  10170  modifeq2int  10171  modaddmodlo  10173  modqsubdir  10178  modsumfzodifsn  10181  crth  11911
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