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Theorem modqid 10153
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )
Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. QQ )
2 simplr 520 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. QQ )
3 0red 7791 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 e. RR )
4 qre 9444 . . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
54ad2antrr 480 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
6 qre 9444 . . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
76ad2antlr 481 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
8 simprl 521 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ A )
9 simprr 522 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < B )
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 7911 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
11 modqval 10128 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
121, 2, 10, 11syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
1310gt0ne0d 8298 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B =/= 0 )
14 qdivcl 9462 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
151, 2, 13, 14syl3anc 1217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
16 qcn 9453 . . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
17 addid2 7925 . . . . . . . . 9 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
1817fveq2d 5433 . . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
20 divge0 8655 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1218 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
227recnd 7818 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. CC )
2322mulid1d 7807 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 1 ) = B )
249, 23breqtrrd 3964 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < ( B x. 1 ) )
25 1red 7805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 1 e. RR )
26 ltdivmul 8658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1221 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
2824, 27mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) < 1 )
29 0z 9089 . . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
30 flqbi2 10095 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
3129, 15, 30sylancr 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
3221, 28, 31mpbir2and 929 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 )
3319, 32eqtr3d 2175 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 )
3433oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = ( B x. 0 ) )
3522mul01d 8179 . . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
3634, 35eqtrd 2173 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = 0 )
3736oveq2d 5798 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = ( A - 0 ) )
385recnd 7818 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. CC )
3938subid1d 8086 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - 0 ) = A )
4037, 39eqtrd 2173 . 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = A )
4112, 40eqtrd 2173 1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   / cdiv 8456   ZZcz 9078   QQcq 9438   |_cfl 10072   mod cmo 10126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-mod 10127
This theorem is referenced by:  modqid2  10155  q0mod  10159  q1mod  10160  modqabs  10161  mulqaddmodid  10168  m1modnnsub1  10174  modqltm1p1mod  10180  q2submod  10189  modifeq2int  10190  modaddmodlo  10192  modqsubdir  10197  modsumfzodifsn  10200  crth  11936
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