Theorem modqid 10363

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. QQ )
2		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. QQ )
3		0red 7972	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 e. RR )
4		qre 9639	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
6		qre 9639	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
7	6	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ A )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < B )
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 8096	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
11		modqval 10338	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
13	10	gt0ne0d 8483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B =/= 0 )
14		qdivcl 9657	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
16		qcn 9648	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
17		addlid 8110	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
18	17	fveq2d 5531	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
20		divge0 8844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
22	7	recnd 8000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. CC )
23	22	mulridd 7988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 1 ) = B )
24	9, 23	breqtrrd 4043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < ( B x. 1 ) )
25		1red 7986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 1 e. RR )
26		ltdivmul 8847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) < 1 )
29		0z 9278	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
30		flqbi2 10305	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
31	29, 15, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
32	21, 28, 31	mpbir2and 945	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 )
33	19, 32	eqtr3d 2222	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 )
34	33	oveq2d 5904	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = ( B x. 0 ) )
35	22	mul01d 8364	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
36	34, 35	eqtrd 2220	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = 0 )
37	36	oveq2d 5904	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = ( A - 0 ) )
38	5	recnd 8000	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. CC )
39	38	subid1d 8271	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - 0 ) = A )
40	37, 39	eqtrd 2220	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = A )
41	12, 40	eqtrd 2220	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826   + caddc 7828   x. cmul 7830   < clt 8006   <_ cle 8007   - cmin 8142   / cdiv 8643   ZZcz 9267   QQcq 9633   |_cfl 10282   mod cmo 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284  df-mod 10337

This theorem is referenced by:  modqid2  10365  q0mod  10369  q1mod  10370  modqabs  10371  mulqaddmodid  10378  m1modnnsub1  10384  modqltm1p1mod  10390  q2submod  10399  modifeq2int  10400  modaddmodlo  10402  modqsubdir  10407  modsumfzodifsn  10410  crth  12238  eulerthlemh  12245  prmdiveq  12250  modprm0  12268  lgslem1  14754  lgsdir2lem1  14782  lgsdirprm  14788  lgseisenlem1  14803  lgseisenlem2  14804  m1lgs  14805