ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqid Unicode version
Theorem modqid 10280
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )
Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. QQ )
2 simplr 520 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. QQ )
3 0red 7896 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 e. RR )
4 qre 9559 . . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
54ad2antrr 480 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
6 qre 9559 . . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
76ad2antlr 481 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
8 simprl 521 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ A )
9 simprr 522 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < B )
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 8019 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
11 modqval 10255 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
121, 2, 10, 11syl3anc 1228 . 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
1310gt0ne0d 8406 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B =/= 0 )
14 qdivcl 9577 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
151, 2, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
16 qcn 9568 . . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
17 addid2 8033 . . . . . . . . 9 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
1817fveq2d 5489 . . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
20 divge0 8764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
227recnd 7923 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. CC )
2322mulid1d 7912 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 1 ) = B )
249, 23breqtrrd 4009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < ( B x. 1 ) )
25 1red 7910 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 1 e. RR )
26 ltdivmul 8767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1232 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
2824, 27mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) < 1 )
29 0z 9198 . . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
30 flqbi2 10222 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
3129, 15, 30sylancr 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
3221, 28, 31mpbir2and 934 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 )
3319, 32eqtr3d 2200 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 )
3433oveq2d 5857 . . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = ( B x. 0 ) )
3522mul01d 8287 . . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
3634, 35eqtrd 2198 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = 0 )
3736oveq2d 5857 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = ( A - 0 ) )
385recnd 7923 . . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. CC )
3938subid1d 8194 . . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - 0 ) = A )
4037, 39eqtrd 2198 . 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = A )
4112, 40eqtrd 2198 1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   x. cmul 7754   < clt 7929   <_ cle 7930   - cmin 8065   / cdiv 8564   ZZcz 9187   QQcq 9553   |_cfl 10199   mod cmo 10253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254
This theorem is referenced by:  modqid2  10282  q0mod  10286  q1mod  10287  modqabs  10288  mulqaddmodid  10295  m1modnnsub1  10301  modqltm1p1mod  10307  q2submod  10316  modifeq2int  10317  modaddmodlo  10319  modqsubdir  10324  modsumfzodifsn  10327  crth  12152  eulerthlemh  12159  prmdiveq  12164  modprm0  12182  lgslem1  13501  lgsdir2lem1  13529  lgsdirprm  13535
  Copyright terms: Public domain W3C validator