Theorem modqid 10420

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. QQ )
2		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. QQ )
3		0red 8020	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 e. RR )
4		qre 9690	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
6		qre 9690	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
7	6	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ A )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < B )
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 8144	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
11		modqval 10395	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
13	10	gt0ne0d 8531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B =/= 0 )
14		qdivcl 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
16		qcn 9699	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
17		addlid 8158	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
18	17	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
20		divge0 8892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
22	7	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. CC )
23	22	mulridd 8036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 1 ) = B )
24	9, 23	breqtrrd 4057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < ( B x. 1 ) )
25		1red 8034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 1 e. RR )
26		ltdivmul 8895	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) < 1 )
29		0z 9328	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
30		flqbi2 10360	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
31	29, 15, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
32	21, 28, 31	mpbir2and 946	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 )
33	19, 32	eqtr3d 2228	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 )
34	33	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = ( B x. 0 ) )
35	22	mul01d 8412	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
36	34, 35	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = 0 )
37	36	oveq2d 5934	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = ( A - 0 ) )
38	5	recnd 8048	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. CC )
39	38	subid1d 8319	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - 0 ) = A )
40	37, 39	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = A )
41	12, 40	eqtrd 2226	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   ZZcz 9317   QQcq 9684   |_cfl 10337   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  modqid2  10422  q0mod  10426  q1mod  10427  modqabs  10428  mulqaddmodid  10435  m1modnnsub1  10441  modqltm1p1mod  10447  q2submod  10456  modifeq2int  10457  modaddmodlo  10459  modqsubdir  10464  modsumfzodifsn  10467  crth  12362  eulerthlemh  12369  prmdiveq  12374  modprm0  12392  4sqlem12  12540  znf1o  14139  wilthlem1  15112  lgslem1  15116  lgsdir2lem1  15144  lgsdirprm  15150  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisen  15190  m1lgs  15192