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Theorem modqid 9756
Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqid  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  A )

Proof of Theorem modqid
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  QQ )
2 simplr 497 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  QQ )
3 0red 7489 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  e.  RR )
4 qre 9110 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  RR )
6 qre 9110 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
76ad2antlr 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  RR )
8 simprl 498 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <_  A )
9 simprr 499 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <  B )
103, 5, 7, 8, 9lelttrd 7608 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
11 modqval 9731 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
121, 2, 10, 11syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
1310gt0ne0d 7990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  =/=  0 )
14 qdivcl 9128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
151, 2, 13, 14syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
16 qcn 9119 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
17 addid2 7621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
0  +  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B ) )
1817fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )
1915, 16, 183syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )
20 divge0 8334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
215, 8, 7, 10, 20syl22anc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <_  ( A  /  B
) )
227recnd 7516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  B  e.  CC )
2322mulid1d 7505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
249, 23breqtrrd 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <  ( B  x.  1 ) )
25 1red 7503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  1  e.  RR )
26 ltdivmul 8337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  ( B  x.  1 ) ) )
275, 25, 7, 10, 26syl112anc 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  (
( A  /  B
)  <  1  <->  A  <  ( B  x.  1 ) ) )
2824, 27mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  /  B )  <  1 )
29 0z 8761 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
30 flqbi2 9698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
) ) )
3129, 15, 30sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  (
( |_ `  (
0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B )  <  1 ) ) )
3221, 28, 31mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0 )
3319, 32eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 )
3433oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  =  ( B  x.  0 ) )
3522mul01d 7871 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
3634, 35eqtrd 2120 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  =  0 )
3736oveq2d 5668 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  ( A  -  0 ) )
385recnd 7516 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  e.  CC )
3938subid1d 7782 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
4037, 39eqtrd 2120 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  =  A )
4112, 40eqtrd 2120 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355    < clt 7522    <_ cle 7523    - cmin 7653    / cdiv 8139   ZZcz 8750   QQcq 9104   |_cfl 9675    mod cmo 9729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-q 9105  df-rp 9135  df-fl 9677  df-mod 9730
This theorem is referenced by:  modqid2  9758  q0mod  9762  q1mod  9763  modqabs  9764  mulqaddmodid  9771  m1modnnsub1  9777  modqltm1p1mod  9783  q2submod  9792  modifeq2int  9793  modaddmodlo  9795  modqsubdir  9800  modsumfzodifsn  9803  crth  11478
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