ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqcyc Unicode version

Theorem modqcyc 10285
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqcyc  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqcyc
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  QQ )
2 zq 9556 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
32ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  QQ )
4 simprl 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  QQ )
5 qmulcl 9567 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( N  x.  B
)  e.  QQ )
63, 4, 5syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  QQ )
7 qaddcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( N  x.  B
)  e.  QQ )  ->  ( A  +  ( N  x.  B
) )  e.  QQ )
81, 6, 7syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ )
9 simprr 522 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  B )
10 modqval 10250 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  mod  B )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
118, 4, 9, 10syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
12 qcn 9564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
131, 12syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  CC )
14 qcn 9564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  x.  B )  e.  QQ  ->  ( N  x.  B )  e.  CC )
156, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  CC )
16 qcn 9564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
174, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  CC )
18 qre 9555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
194, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
2019, 9gt0ap0d 8519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B #  0 )
2113, 15, 17, 20divdirapd 8717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B )  /  B ) ) )
22 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  ZZ )
2322zcnd 9306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  CC )
2423, 17, 20divcanap4d 8684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( N  x.  B )  /  B
)  =  N )
2524oveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B
)  /  B ) )  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2621, 25eqtrd 2197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2726fveq2d 5485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( |_
`  ( ( A  /  B )  +  N ) ) )
289gt0ne0d 8402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  =/=  0 )
29 qdivcl 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
301, 4, 28, 29syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  QQ )
31 flqaddz 10223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3230, 22, 31syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3327, 32eqtrd 2197 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3433oveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( B  x.  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  +  N
) ) )
3530flqcld 10203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
3635zcnd 9306 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
3717, 36, 23adddid 7915 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( B  x.  N
) ) )
3817, 23mulcomd 7912 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
3938oveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( B  x.  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4034, 37, 393eqtrd 2201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4140oveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
) ) ) )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) ) )
4217, 36mulcld 7911 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  CC )
4313, 42, 15pnpcan2d 8239 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  (
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4411, 41, 433eqtrd 2201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
45 modqval 10250 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
461, 4, 9, 45syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4744, 46eqtr4d 2200 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135    =/= wne 2334   class class class wbr 3977   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   CCcc 7743   RRcr 7744   0cc0 7745    + caddc 7748    x. cmul 7750    < clt 7925    - cmin 8061    / cdiv 8560   ZZcz 9183   QQcq 9549   |_cfl 10194    mod cmo 10248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863  ax-arch 7864
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-q 9550  df-rp 9582  df-fl 10196  df-mod 10249
This theorem is referenced by:  modqcyc2  10286  mulqaddmodid  10290  qnegmod  10295  modsumfzodifsn  10322
  Copyright terms: Public domain W3C validator