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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqcyc | Unicode version |
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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modqcyc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpll 527 |
. . . . 5
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2 | zq 9628 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | ad2antlr 489 |
. . . . . 6
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4 | simprl 529 |
. . . . . 6
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5 | qmulcl 9639 |
. . . . . 6
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6 | 3, 4, 5 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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7 | qaddcl 9637 |
. . . . 5
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8 | 1, 6, 7 | syl2anc 411 |
. . . 4
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9 | simprr 531 |
. . . 4
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10 | modqval 10326 |
. . . 4
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11 | 8, 4, 9, 10 | syl3anc 1238 |
. . 3
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12 | qcn 9636 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 1, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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14 | qcn 9636 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 6, 14 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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16 | qcn 9636 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 4, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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18 | qre 9627 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 4, 18 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19, 9 | gt0ap0d 8588 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 13, 15, 17, 20 | divdirapd 8788 |
. . . . . . . . 9
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22 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | zcnd 9378 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23, 17, 20 | divcanap4d 8755 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . 9
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26 | 21, 25 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | fveq2d 5521 |
. . . . . . 7
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28 | 9 | gt0ne0d 8471 |
. . . . . . . . 9
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29 | qdivcl 9645 |
. . . . . . . . 9
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30 | 1, 4, 28, 29 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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31 | flqaddz 10299 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 22, 31 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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33 | 27, 32 | eqtrd 2210 |
. . . . . 6
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34 | 33 | oveq2d 5893 |
. . . . 5
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35 | 30 | flqcld 10279 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | zcnd 9378 |
. . . . . 6
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37 | 17, 36, 23 | adddid 7984 |
. . . . 5
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38 | 17, 23 | mulcomd 7981 |
. . . . . 6
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39 | 38 | oveq2d 5893 |
. . . . 5
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40 | 34, 37, 39 | 3eqtrd 2214 |
. . . 4
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41 | 40 | oveq2d 5893 |
. . 3
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42 | 17, 36 | mulcld 7980 |
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43 | 13, 42, 15 | pnpcan2d 8308 |
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44 | 11, 41, 43 | 3eqtrd 2214 |
. 2
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45 | modqval 10326 |
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46 | 1, 4, 9, 45 | syl3anc 1238 |
. 2
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47 | 44, 46 | eqtr4d 2213 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-n0 9179 df-z 9256 df-q 9622 df-rp 9656 df-fl 10272 df-mod 10325 |
This theorem is referenced by: modqcyc2 10362 mulqaddmodid 10366 qnegmod 10371 modsumfzodifsn 10398 lgsdir2lem1 14514 lgsdir2lem5 14518 lgseisenlem1 14535 |
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