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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqcyc | Unicode version |
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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modqcyc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpll 497 |
. . . . 5
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2 | zq 9165 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | ad2antlr 474 |
. . . . . 6
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4 | simprl 499 |
. . . . . 6
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5 | qmulcl 9176 |
. . . . . 6
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6 | 3, 4, 5 | syl2anc 404 |
. . . . 5
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7 | qaddcl 9174 |
. . . . 5
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8 | 1, 6, 7 | syl2anc 404 |
. . . 4
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9 | simprr 500 |
. . . 4
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10 | modqval 9785 |
. . . 4
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11 | 8, 4, 9, 10 | syl3anc 1175 |
. . 3
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12 | qcn 9173 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 1, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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14 | qcn 9173 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 6, 14 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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16 | qcn 9173 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 4, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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18 | qre 9164 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 4, 18 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19, 9 | gt0ap0d 8159 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 13, 15, 17, 20 | divdirapd 8350 |
. . . . . . . . 9
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22 | simplr 498 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | zcnd 8923 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23, 17, 20 | divcanap4d 8317 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | oveq2d 5682 |
. . . . . . . . 9
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26 | 21, 25 | eqtrd 2121 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | fveq2d 5322 |
. . . . . . 7
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28 | 9 | gt0ne0d 8044 |
. . . . . . . . 9
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29 | qdivcl 9182 |
. . . . . . . . 9
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30 | 1, 4, 28, 29 | syl3anc 1175 |
. . . . . . . 8
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31 | flqaddz 9758 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 22, 31 | syl2anc 404 |
. . . . . . 7
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33 | 27, 32 | eqtrd 2121 |
. . . . . 6
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34 | 33 | oveq2d 5682 |
. . . . 5
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35 | 30 | flqcld 9738 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | zcnd 8923 |
. . . . . 6
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37 | 17, 36, 23 | adddid 7566 |
. . . . 5
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38 | 17, 23 | mulcomd 7563 |
. . . . . 6
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39 | 38 | oveq2d 5682 |
. . . . 5
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40 | 34, 37, 39 | 3eqtrd 2125 |
. . . 4
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41 | 40 | oveq2d 5682 |
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42 | 17, 36 | mulcld 7562 |
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43 | 13, 42, 15 | pnpcan2d 7885 |
. . 3
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44 | 11, 41, 43 | 3eqtrd 2125 |
. 2
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45 | modqval 9785 |
. . 3
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46 | 1, 4, 9, 45 | syl3anc 1175 |
. 2
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47 | 44, 46 | eqtr4d 2124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-sep 3963 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-cnex 7490 ax-resscn 7491 ax-1cn 7492 ax-1re 7493 ax-icn 7494 ax-addcl 7495 ax-addrcl 7496 ax-mulcl 7497 ax-mulrcl 7498 ax-addcom 7499 ax-mulcom 7500 ax-addass 7501 ax-mulass 7502 ax-distr 7503 ax-i2m1 7504 ax-0lt1 7505 ax-1rid 7506 ax-0id 7507 ax-rnegex 7508 ax-precex 7509 ax-cnre 7510 ax-pre-ltirr 7511 ax-pre-ltwlin 7512 ax-pre-lttrn 7513 ax-pre-apti 7514 ax-pre-ltadd 7515 ax-pre-mulgt0 7516 ax-pre-mulext 7517 ax-arch 7518 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-xp 4457 df-rel 4458 df-cnv 4459 df-co 4460 df-dm 4461 df-rn 4462 df-res 4463 df-ima 4464 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-fv 5036 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-pnf 7578 df-mnf 7579 df-xr 7580 df-ltxr 7581 df-le 7582 df-sub 7709 df-neg 7710 df-reap 8106 df-ap 8113 df-div 8194 df-inn 8477 df-n0 8728 df-z 8805 df-q 9159 df-rp 9189 df-fl 9731 df-mod 9784 |
This theorem is referenced by: modqcyc2 9821 mulqaddmodid 9825 qnegmod 9830 modsumfzodifsn 9857 |
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