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Theorem modqcyc 9820
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqcyc  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqcyc
StepHypRef Expression
1 simpll 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  QQ )
2 zq 9165 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
32ad2antlr 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  QQ )
4 simprl 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  QQ )
5 qmulcl 9176 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( N  x.  B
)  e.  QQ )
63, 4, 5syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  QQ )
7 qaddcl 9174 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( N  x.  B
)  e.  QQ )  ->  ( A  +  ( N  x.  B
) )  e.  QQ )
81, 6, 7syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ )
9 simprr 500 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  B )
10 modqval 9785 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  mod  B )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
118, 4, 9, 10syl3anc 1175 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
12 qcn 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
131, 12syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  CC )
14 qcn 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  x.  B )  e.  QQ  ->  ( N  x.  B )  e.  CC )
156, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  CC )
16 qcn 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
174, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  CC )
18 qre 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
194, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
2019, 9gt0ap0d 8159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B #  0 )
2113, 15, 17, 20divdirapd 8350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B )  /  B ) ) )
22 simplr 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  ZZ )
2322zcnd 8923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  CC )
2423, 17, 20divcanap4d 8317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( N  x.  B )  /  B
)  =  N )
2524oveq2d 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B
)  /  B ) )  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2621, 25eqtrd 2121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2726fveq2d 5322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( |_
`  ( ( A  /  B )  +  N ) ) )
289gt0ne0d 8044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  =/=  0 )
29 qdivcl 9182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
301, 4, 28, 29syl3anc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  QQ )
31 flqaddz 9758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3230, 22, 31syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3327, 32eqtrd 2121 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3433oveq2d 5682 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( B  x.  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  +  N
) ) )
3530flqcld 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
3635zcnd 8923 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
3717, 36, 23adddid 7566 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( B  x.  N
) ) )
3817, 23mulcomd 7563 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
3938oveq2d 5682 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( B  x.  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4034, 37, 393eqtrd 2125 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4140oveq2d 5682 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
) ) ) )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) ) )
4217, 36mulcld 7562 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  CC )
4313, 42, 15pnpcan2d 7885 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  (
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4411, 41, 433eqtrd 2125 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
45 modqval 9785 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
461, 4, 9, 45syl3anc 1175 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4744, 46eqtr4d 2124 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439    =/= wne 2256   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402   RRcr 7403   0cc0 7404    + caddc 7407    x. cmul 7409    < clt 7576    - cmin 7707    / cdiv 8193   ZZcz 8804   QQcq 9158   |_cfl 9729    mod cmo 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-q 9159  df-rp 9189  df-fl 9731  df-mod 9784
This theorem is referenced by:  modqcyc2  9821  mulqaddmodid  9825  qnegmod  9830  modsumfzodifsn  9857
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