Theorem modqcyc 10536

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	|- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. QQ )
2		zq 9777	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	2	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. QQ )
4		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. QQ )
5		qmulcl 9788	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( N x. B ) e. QQ )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. QQ )
7		qaddcl 9786	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ ( N x. B ) e. QQ ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
10		modqval 10501	. . . 4 |- ( ( ( A + ( N x. B ) ) e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
12		qcn 9785	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
14		qcn 9785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N x. B ) e. QQ -> ( N x. B ) e. CC )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. CC )
16		qcn 9785	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
18		qre 9776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
20	19, 9	gt0ap0d 8732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 8932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) )
22		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zcnd 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. CC )
24	23, 17, 20	divcanap4d 8899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( N x. B ) / B ) = N )
25	24	oveq2d 5978	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) = ( ( A / B ) + N ) )
26	21, 25	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + N ) )
27	26	fveq2d 5598	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) )
28	9	gt0ne0d 8615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
29		qdivcl 9794	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
31		flqaddz 10472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / B ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
32	30, 22, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
33	27, 32	eqtrd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
34	33	oveq2d 5978	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) )
35	30	flqcld 10452	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
36	35	zcnd 9526	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
37	17, 36, 23	adddid 8127	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) )
38	17, 23	mulcomd 8124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. N ) = ( N x. B ) )
39	38	oveq2d 5978	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtrd 2243	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
41	40	oveq2d 5978	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) )
42	17, 36	mulcld 8123	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8451	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
44	11, 41, 43	3eqtrd 2243	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
45		modqval 10501	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
47	44, 46	eqtr4d 2242	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4054   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   CCcc 7953   RRcr 7954   0cc0 7955   + caddc 7958   x. cmul 7960   < clt 8137   - cmin 8273   / cdiv 8775   ZZcz 9402   QQcq 9770   |_cfl 10443   mod cmo 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-q 9771  df-rp 9806  df-fl 10445  df-mod 10500

This theorem is referenced by:  modqcyc2  10537  mulqaddmodid  10541  qnegmod  10546  modsumfzodifsn  10573  modxai  12824  wilthlem1  15537  lgsdir2lem1  15590  lgsdir2lem5  15594  lgseisenlem1  15632