Theorem modqcyc 10817

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	|- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. QQ )
2		zq 10042	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	2	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. QQ )
4		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. QQ )
5		qmulcl 10053	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( N x. B ) e. QQ )
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. QQ )
7		qaddcl 10051	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ ( N x. B ) e. QQ ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
8	1, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
9		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
10		modqval 10782	. . . 4 |- ( ( ( A + ( N x. B ) ) e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
12		qcn 10050	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
14		qcn 10050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N x. B ) e. QQ -> ( N x. B ) e. CC )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. CC )
16		qcn 10050	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
18		qre 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
20	19, 9	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) )
22		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zcnd 9780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. CC )
24	23, 17, 20	divcanap4d 9134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( N x. B ) / B ) = N )
25	24	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) = ( ( A / B ) + N ) )
26	21, 25	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + N ) )
27	26	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) )
28	9	gt0ne0d 8847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
29		qdivcl 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
31		flqaddz 10753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / B ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
32	30, 22, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
33	27, 32	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
34	33	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) )
35	30	flqcld 10731	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
36	35	zcnd 9780	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
37	17, 36, 23	adddid 8356	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) )
38	17, 23	mulcomd 8353	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. N ) = ( N x. B ) )
39	38	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
41	40	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) )
42	17, 36	mulcld 8352	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8682	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
44	11, 41, 43	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
45		modqval 10782	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
47	44, 46	eqtr4d 2274	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   - cmin 8504   / cdiv 9010   ZZcz 9655   QQcq 10035   |_cfl 10720   mod cmo 10780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722  df-mod 10781

This theorem is used by:  modqcyc2  10818  mulqaddmodid  10822  qnegmod  10827  modsumfzodifsn  10854  modxai  13224  wilthlem1  16232  lgsdir2lem1  16352  lgsdir2lem5  16356  lgseisenlem1  16394