Theorem modqcyc 9827

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	|- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 497	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. QQ )
2		zq 9172	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	2	ad2antlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. QQ )
4		simprl 499	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. QQ )
5		qmulcl 9183	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( N x. B ) e. QQ )
6	3, 4, 5	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. QQ )
7		qaddcl 9181	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ ( N x. B ) e. QQ ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
8	1, 6, 7	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
9		simprr 500	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
10		modqval 9792	. . . 4 |- ( ( ( A + ( N x. B ) ) e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1175	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
12		qcn 9180	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
14		qcn 9180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N x. B ) e. QQ -> ( N x. B ) e. CC )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. CC )
16		qcn 9180	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
18		qre 9171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
20	19, 9	gt0ap0d 8166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 8357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) )
22		simplr 498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zcnd 8930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. CC )
24	23, 17, 20	divcanap4d 8324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( N x. B ) / B ) = N )
25	24	oveq2d 5682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) = ( ( A / B ) + N ) )
26	21, 25	eqtrd 2121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + N ) )
27	26	fveq2d 5322	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) )
28	9	gt0ne0d 8051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
29		qdivcl 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
31		flqaddz 9765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / B ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
32	30, 22, 31	syl2anc 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
33	27, 32	eqtrd 2121	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
34	33	oveq2d 5682	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) )
35	30	flqcld 9745	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
36	35	zcnd 8930	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
37	17, 36, 23	adddid 7573	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) )
38	17, 23	mulcomd 7570	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. N ) = ( N x. B ) )
39	38	oveq2d 5682	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtrd 2125	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
41	40	oveq2d 5682	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) )
42	17, 36	mulcld 7569	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
43	13, 42, 15	pnpcan2d 7892	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
44	11, 41, 43	3eqtrd 2125	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
45		modqval 9792	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1175	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
47	44, 46	eqtr4d 2124	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   =/= wne 2256   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   RRcr 7410   0cc0 7411   + caddc 7414   x. cmul 7416   < clt 7583   - cmin 7714   / cdiv 8200   ZZcz 8811   QQcq 9165   |_cfl 9736   mod cmo 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-q 9166  df-rp 9196  df-fl 9738  df-mod 9791

This theorem is referenced by:  modqcyc2  9828  mulqaddmodid  9832  qnegmod  9837  modsumfzodifsn  9864