Theorem modqcyc 10745

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	|- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. QQ )
2		zq 9976	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	2	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. QQ )
4		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. QQ )
5		qmulcl 9987	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( N x. B ) e. QQ )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. QQ )
7		qaddcl 9985	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ ( N x. B ) e. QQ ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
9		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
10		modqval 10710	. . . 4 |- ( ( ( A + ( N x. B ) ) e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
12		qcn 9984	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
14		qcn 9984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N x. B ) e. QQ -> ( N x. B ) e. CC )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. CC )
16		qcn 9984	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
18		qre 9975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
20	19, 9	gt0ap0d 8920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 9120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) )
22		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. CC )
24	23, 17, 20	divcanap4d 9087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( N x. B ) / B ) = N )
25	24	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) = ( ( A / B ) + N ) )
26	21, 25	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + N ) )
27	26	fveq2d 5679	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) )
28	9	gt0ne0d 8803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
29		qdivcl 9993	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
31		flqaddz 10681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / B ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
32	30, 22, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
33	27, 32	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
34	33	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) )
35	30	flqcld 10661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
36	35	zcnd 9719	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
37	17, 36, 23	adddid 8314	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) )
38	17, 23	mulcomd 8311	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. N ) = ( N x. B ) )
39	38	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
41	40	oveq2d 6074	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) )
42	17, 36	mulcld 8310	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8638	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
44	11, 41, 43	3eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
45		modqval 10710	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
47	44, 46	eqtr4d 2270	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   ZZcz 9594   QQcq 9969   |_cfl 10652   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by:  modqcyc2  10746  mulqaddmodid  10750  qnegmod  10755  modsumfzodifsn  10782  modxai  13139  wilthlem1  15974  lgsdir2lem1  16027  lgsdir2lem5  16031  lgseisenlem1  16069