Theorem modqcyc 10774

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	|- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. QQ )
2		zq 10005	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	2	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. QQ )
4		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. QQ )
5		qmulcl 10016	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( N x. B ) e. QQ )
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. QQ )
7		qaddcl 10014	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ ( N x. B ) e. QQ ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
8	1, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A + ( N x. B ) ) e. QQ )
9		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
10		modqval 10739	. . . 4 |- ( ( ( A + ( N x. B ) ) e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) )
12		qcn 10013	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
14		qcn 10013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N x. B ) e. QQ -> ( N x. B ) e. CC )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( N x. B ) e. CC )
16		qcn 10013	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
18		qre 10004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
20	19, 9	gt0ap0d 8947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 9149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) )
22		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. ZZ )
23	22	zcnd 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> N e. CC )
24	23, 17, 20	divcanap4d 9116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( N x. B ) / B ) = N )
25	24	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) + ( ( N x. B ) / B ) ) = ( ( A / B ) + N ) )
26	21, 25	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) = ( ( A / B ) + N ) )
27	26	fveq2d 5694	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) )
28	9	gt0ne0d 8830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
29		qdivcl 10022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
31		flqaddz 10710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / B ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
32	30, 22, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A / B ) + N ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
33	27, 32	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) = ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) )
34	33	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) )
35	30	flqcld 10690	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
36	35	zcnd 9748	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
37	17, 36, 23	adddid 8340	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( ( |_ ` ( A / B ) ) + N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) )
38	17, 23	mulcomd 8337	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. N ) = ( N x. B ) )
39	38	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( B x. N ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) )
41	40	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( A + ( N x. B ) ) / B ) ) ) ) = ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) )
42	17, 36	mulcld 8336	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. CC )
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8665	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) + ( N x. B ) ) ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
44	11, 41, 43	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
45		modqval 10739	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
47	44, 46	eqtr4d 2274	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) /\ ( B e. QQ /\ 0 < B ) ) -> ( ( A + ( N x. B ) ) mod B ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   / cdiv 8992   ZZcz 9623   QQcq 9998   |_cfl 10681   mod cmo 10737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738

This theorem is referenced by:  modqcyc2  10775  mulqaddmodid  10779  qnegmod  10784  modsumfzodifsn  10811  modxai  13173  wilthlem1  16008  lgsdir2lem1  16061  lgsdir2lem5  16065  lgseisenlem1  16103