Theorem halfaddsubcl 9520

Description: Closure of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
halfaddsubcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )

Proof of Theorem halfaddsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8297	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		halfcl 9513	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) / 2 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. CC )
4		subcl 8518	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
5		halfcl 9513	. . 3 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( ( A - B ) / 2 ) e. CC )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) / 2 ) e. CC )
7	3, 6	jca 306	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   CCcc 8170   + caddc 8175   - cmin 8490   / cdiv 8995   2c2 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-2 9345

This theorem is referenced by:  subsin  12491  addcos  12494  subcos  12495