ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcos Unicode version

Theorem subcos 11787
Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcos  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )

Proof of Theorem subcos
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 9182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC ) )
2 sincl 11746 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
3 sincl 11746 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
4 mulcl 7968 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
52, 3, 4syl2an 289 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
61, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
762timesd 9191 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( sin `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
8 cossub 11781 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
9 cosadd 11777 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
108, 9oveq12d 5914 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
111, 10syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
12 coscl 11747 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
13 coscl 11747 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
14 mulcl 7968 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1512, 13, 14syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1716, 6, 6pnncand 8337 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1811, 17eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  +  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 9183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  A  /\  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  B ) )
2019simprd 114 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  =  B )
2120fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( cos `  B ) )
2219simpld 112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) )  =  A )
2322fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( cos `  A ) )
2421, 23oveq12d 5914 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) ) )
257, 18, 243eqtr2rd 2229 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839    + caddc 7844    x. cmul 7846    - cmin 8158    / cdiv 8659   2c2 9000   sincsin 11684   cosccos 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-sin 11690  df-cos 11691
This theorem is referenced by:  cosordlem  14727
  Copyright terms: Public domain W3C validator