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Theorem subsin 11463
Description: Difference of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
subsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )

Proof of Theorem subsin
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 8967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC ) )
2 coscl 11427 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
3 sincl 11426 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
4 mulcl 7761 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
52, 3, 4syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
61, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
762timesd 8976 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( sin `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
8 sinadd 11456 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
9 sinsub 11460 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
108, 9oveq12d 5792 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
111, 10syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
12 sincl 11426 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
13 coscl 11427 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
14 mulcl 7761 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1716, 6, 6pnncand 8126 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1811, 17eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  +  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 8968 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  A  /\  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  B ) )
2019simpld 111 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) )  =  A )
2120fveq2d 5425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  A ) )
2219simprd 113 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  =  B )
2322fveq2d 5425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  B ) )
2421, 23oveq12d 5792 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) ) )
257, 18, 243eqtr2rd 2179 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7632    + caddc 7637    x. cmul 7639    - cmin 7947    / cdiv 8446   2c2 8785   sincsin 11364   cosccos 11365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-ico 9691  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-fac 10486  df-bc 10508  df-ihash 10536  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-clim 11062  df-sumdc 11137  df-ef 11368  df-sin 11370  df-cos 11371
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