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Theorem subsin 11693
Description: Difference of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
subsin |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) - ( sin ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Proof of Theorem subsin
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 9098 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )
2 coscl 11657 . . . . 5 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
3 sincl 11656 . . . . 5 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
4 mulcl 7888 . . . . 5 |- ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
52, 3, 4syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
61, 5syl 14 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
762timesd 9107 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
8 sinadd 11686 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
9 sinsub 11690 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
108, 9oveq12d 5868 . . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
111, 10syl 14 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
12 sincl 11656 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
13 coscl 11657 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
14 mulcl 7888 . . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
161, 15syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1716, 6, 6pnncand 8256 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
1811, 17eqtrd 2203 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 9099 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) )
2019simpld 111 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
2120fveq2d 5498 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
2219simprd 113 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B )
2322fveq2d 5498 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( sin ` B ) )
2421, 23oveq12d 5868 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` A ) - ( sin ` B ) ) )
257, 18, 243eqtr2rd 2210 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) - ( sin ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   + caddc 7764   x. cmul 7766   - cmin 8077   / cdiv 8576   2c2 8916   sincsin 11594   cosccos 11595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601
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