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Theorem subsin 11199
Description: Difference of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
subsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )

Proof of Theorem subsin
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 8747 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC ) )
2 coscl 11163 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
3 sincl 11162 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
4 mulcl 7566 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
52, 3, 4syl2an 284 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
61, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
762timesd 8756 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( sin `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
8 sinadd 11192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
9 sinsub 11196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
108, 9oveq12d 5708 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
111, 10syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
12 sincl 11162 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
13 coscl 11163 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
14 mulcl 7566 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1512, 13, 14syl2an 284 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1716, 6, 6pnncand 7929 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1811, 17eqtrd 2127 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  +  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 8748 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  A  /\  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  B ) )
2019simpld 111 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) )  =  A )
2120fveq2d 5344 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  A ) )
2219simprd 113 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  =  B )
2322fveq2d 5344 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  B ) )
2421, 23oveq12d 5708 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) ) )
257, 18, 243eqtr2rd 2134 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  -  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445    + caddc 7450    x. cmul 7452    - cmin 7750    / cdiv 8236   2c2 8571   sincsin 11099   cosccos 11100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-disj 3845  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913  df-ef 11103  df-sin 11105  df-cos 11106
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