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Theorem addcos 12387
Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addcos |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Proof of Theorem addcos
StepHypRef Expression
1 coscl 12348 . . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2 coscl 12348 . . 3 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3 addcom 8375 . . 3 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
5 halfaddsub 9437 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) )
65simprd 114 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B )
76fveq2d 5652 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` B ) )
85simpld 112 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
98fveq2d 5652 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
107, 9oveq12d 6046 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
11 halfaddsubcl 9436 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )
12 coscl 12348 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
13 coscl 12348 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
14 mulcl 8219 . . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1512, 13, 14syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1611, 15syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
17 sincl 12347 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
18 sincl 12347 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
19 mulcl 8219 . . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2017, 18, 19syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2111, 20syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2216, 21, 16ppncand 8589 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
23 cossub 12382 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
24 cosadd 12378 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 6046 . . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 14 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
27162timesd 9446 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2822, 26, 273eqtr4d 2274 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
294, 10, 283eqtr2d 2270 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   x. cmul 8097   - cmin 8409   / cdiv 8911   2c2 9253   sincsin 12285   cosccos 12286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-sin 12291  df-cos 12292
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