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Theorem addcos 11100
Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addcos |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Proof of Theorem addcos
StepHypRef Expression
1 coscl 11061 . . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2 coscl 11061 . . 3 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3 addcom 7682 . . 3 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
41, 2, 3syl2an 284 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
5 halfaddsub 8713 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) )
65simprd 113 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B )
76fveq2d 5324 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` B ) )
85simpld 111 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
98fveq2d 5324 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
107, 9oveq12d 5686 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
11 halfaddsubcl 8712 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )
12 coscl 11061 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
13 coscl 11061 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
14 mulcl 7532 . . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1512, 13, 14syl2an 284 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1611, 15syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
17 sincl 11060 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
18 sincl 11060 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
19 mulcl 7532 . . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2017, 18, 19syl2an 284 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2111, 20syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2216, 21, 16ppncand 7896 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
23 cossub 11095 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
24 cosadd 11091 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 5686 . . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 14 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
27162timesd 8721 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2822, 26, 273eqtr4d 2131 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
294, 10, 283eqtr2d 2127 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   + caddc 7416   x. cmul 7418   - cmin 7716   / cdiv 8202   2c2 8536   sincsin 10997   cosccos 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-disj 3831  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-sin 11003  df-cos 11004
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