Theorem imasmndf1 13527

Description: The image of a monoid under an injection is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmndf1.u	|- U = ( F "s R )
imasmndf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasmndf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U e. Mnd )

Proof of Theorem imasmndf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmndf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasmndf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		f1f1orn 5591	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8		f1ofo 5587	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> F : V -onto-> ran F )
10	7	f1ocpbl 13384	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
11		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> R e. Mnd )
12		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasmnd 13526	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> ( U e. Mnd /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
14	13	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ran crn 4724   -1-1->wf1 5321   -onto->wfo 5322   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   "_s cimas 13372   Mndcmnd 13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-iimas 13375  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490

This theorem is referenced by: (None)