Theorem imasmndf1 13536

Description: The image of a monoid under an injection is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmndf1.u	|- U = ( F "s R )
imasmndf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasmndf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U e. Mnd )

Proof of Theorem imasmndf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmndf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasmndf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		f1f1orn 5594	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8		f1ofo 5590	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> F : V -onto-> ran F )
10	7	f1ocpbl 13393	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
11		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> R e. Mnd )
12		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasmnd 13535	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> ( U e. Mnd /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
14	13	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Mnd ) -> U e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ran crn 4726   -1-1->wf1 5323   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   "_s cimas 13381   Mndcmnd 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-iimas 13384  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499

This theorem is referenced by: (None)