Theorem imasmndf1 13656

Description: The image of a monoid under an injection is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmndf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasmndf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasmndf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 ∈ Mnd)

Proof of Theorem imasmndf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmndf1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasmndf1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2232	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		f1f1orn 5624	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8		f1ofo 5620	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	7	f1ocpbl 13513	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
11		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑅 ∈ Mnd)
12		eqid 2232	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasmnd 13655	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
14	13	simpld 112	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ran crn 4749  –1-1→wf1 5348  –onto→wfo 5349  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458   “_s cimas 13501  Mndcmnd 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-0g 13460  df-iimas 13504  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619

This theorem is referenced by: (None)