Theorem imasmndf1 13330

Description: The image of a monoid under an injection is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmndf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasmndf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasmndf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 ∈ Mnd)

Proof of Theorem imasmndf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmndf1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasmndf1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		f1f1orn 5540	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8		f1ofo 5536	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	7	f1ocpbl 13187	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
11		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑅 ∈ Mnd)
12		eqid 2206	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasmnd 13329	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
14	13	simpld 112	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Mnd) → 𝑈 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ran crn 4680  –1-1→wf1 5273  –onto→wfo 5274  –1-1-onto→wf1o 5275  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  0_gc0g 13132   “_s cimas 13175  Mndcmnd 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-iimas 13178  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293

This theorem is referenced by: (None)