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Theorem isghm 14023
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w |- X = ( Base ` S )
isghm.x |- Y = ( Base ` T )
isghm.a |- .+ = ( +g ` S )
isghm.b |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
isghm |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v
Proof of Theorem isghm
Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 14021 . . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
21elmpocl 6274 . 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3 isghm.w . . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
4 basfn 13389 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
5 elex 2833 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> S e. _V )
65adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> S e. _V )
7 funfvex 5707 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
87funfni 5478 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
94, 6, 8sylancr 418 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` S ) e. _V )
103, 9eqeltrid 2325 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> X e. _V )
11 isghm.x . . . . . . . 8 |- Y = ( Base ` T )
12 elex 2833 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. Grp -> T e. _V )
1312adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> T e. _V )
14 funfvex 5707 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1514funfni 5478 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
164, 13, 15sylancr 418 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1711, 16eqeltrid 2325 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> Y e. _V )
18 mapex 6918 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
1910, 17, 18syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
20 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
2120ss2abi 3320 . . . . . . 7 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
2221a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y } )
2319, 22ssexd 4268 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V )
24 vex 2824 . . . . . . . . . 10 |- s e. _V
25 funfvex 5707 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
2625funfni 5478 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
274, 24, 26mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) e. _V
28 feq2 5512 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
29 raleq 2749 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3029raleqbi1dv 2761 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3128, 30anbi12d 477 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
3227, 31sbcie 3086 . . . . . . . 8 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
33 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
3433, 3eqtr4di 2289 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
3534feq2d 5516 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
36 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
37 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3836, 37eqtr4di 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3938oveqd 6092 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
4039fveqeq2d 5698 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4134, 40raleqbidv 2765 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4234, 41raleqbidv 2765 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4335, 42anbi12d 477 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4432, 43bitrid 192 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4544abbidv 2358 . . . . . 6 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
46 fveq2 5690 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
4746, 11eqtr4di 2289 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
4847feq3d 5517 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
49 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
50 isghm.b . . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` T )
5149, 50eqtr4di 2289 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
5251oveqd 6092 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
5352eqeq2d 2250 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
54532ralbidv 2574 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
5548, 54anbi12d 477 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
5655abbidv 2358 . . . . . 6 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5745, 56, 1ovmpog 6213 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp /\ { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5823, 57mpd3an3 1379 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5958eleq2d 2308 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
60 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
6110adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> X e. _V )
6260, 61fexd 5938 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F e. _V )
6362ex 115 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F : X --> Y -> F e. _V ) )
6463adantrd 279 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) )
65 feq1 5511 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
66 fveq1 5689 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
67 fveq1 5689 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
68 fveq1 5689 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
6967, 68oveq12d 6093 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
7066, 69eqeq12d 2253 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
71702ralbidv 2574 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
7265, 71anbi12d 477 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7372elab3g 2977 . . . 4 |- ( ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7464, 73syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7559, 74bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
762, 75biadanii 621 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   C_ wss 3220   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782   GrpHom cghm 14020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-ghm 14021
This theorem is referenced by:  isghm3  14024  ghmgrp1  14025  ghmgrp2  14026  ghmf  14027  ghmlin  14028  isghmd  14032  idghm  14039  ghmf1o  14055  rhmopp  14456  expghmap  14914  mulgghm2  14915
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