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Theorem isghm 13449
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w |- X = ( Base ` S )
isghm.x |- Y = ( Base ` T )
isghm.a |- .+ = ( +g ` S )
isghm.b |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
isghm |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v
Proof of Theorem isghm
Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 13447 . . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
21elmpocl 6122 . 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3 isghm.w . . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
4 basfn 12761 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
5 elex 2774 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> S e. _V )
65adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> S e. _V )
7 funfvex 5578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
87funfni 5361 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
94, 6, 8sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` S ) e. _V )
103, 9eqeltrid 2283 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> X e. _V )
11 isghm.x . . . . . . . 8 |- Y = ( Base ` T )
12 elex 2774 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. Grp -> T e. _V )
1312adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> T e. _V )
14 funfvex 5578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1514funfni 5361 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
164, 13, 15sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1711, 16eqeltrid 2283 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> Y e. _V )
18 mapex 6722 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
1910, 17, 18syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
20 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
2120ss2abi 3256 . . . . . . 7 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
2221a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y } )
2319, 22ssexd 4174 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V )
24 vex 2766 . . . . . . . . . 10 |- s e. _V
25 funfvex 5578 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
2625funfni 5361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
274, 24, 26mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) e. _V
28 feq2 5394 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
29 raleq 2693 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3029raleqbi1dv 2705 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3128, 30anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
3227, 31sbcie 3024 . . . . . . . 8 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
33 fveq2 5561 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
3433, 3eqtr4di 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
3534feq2d 5398 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
36 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
37 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3836, 37eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3938oveqd 5942 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
4039fveqeq2d 5569 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4134, 40raleqbidv 2709 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4234, 41raleqbidv 2709 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4335, 42anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4432, 43bitrid 192 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4544abbidv 2314 . . . . . 6 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
46 fveq2 5561 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
4746, 11eqtr4di 2247 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
4847feq3d 5399 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
49 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
50 isghm.b . . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` T )
5149, 50eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
5251oveqd 5942 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
5352eqeq2d 2208 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
54532ralbidv 2521 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
5548, 54anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
5655abbidv 2314 . . . . . 6 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5745, 56, 1ovmpog 6061 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp /\ { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5823, 57mpd3an3 1349 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5958eleq2d 2266 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
60 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
6110adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> X e. _V )
6260, 61fexd 5795 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F e. _V )
6362ex 115 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F : X --> Y -> F e. _V ) )
6463adantrd 279 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) )
65 feq1 5393 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
66 fveq1 5560 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
67 fveq1 5560 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
68 fveq1 5560 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
6967, 68oveq12d 5943 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
7066, 69eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
71702ralbidv 2521 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
7265, 71anbi12d 473 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7372elab3g 2915 . . . 4 |- ( ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7464, 73syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7559, 74bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
762, 75biadanii 613 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [.wsbc 2989   C_ wss 3157   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   Grpcgrp 13202   GrpHom cghm 13446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-ghm 13447
This theorem is referenced by:  isghm3  13450  ghmgrp1  13451  ghmgrp2  13452  ghmf  13453  ghmlin  13454  isghmd  13458  idghm  13465  ghmf1o  13481  rhmopp  13808  expghmap  14239  mulgghm2  14240
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