ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isghm Unicode version
Theorem isghm 13199
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w |- X = ( Base ` S )
isghm.x |- Y = ( Base ` T )
isghm.a |- .+ = ( +g ` S )
isghm.b |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
isghm |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v
Proof of Theorem isghm
Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 13197 . . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
21elmpocl 6092 . 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3 isghm.w . . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
4 basfn 12573 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
5 elex 2763 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> S e. _V )
65adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> S e. _V )
7 funfvex 5551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
87funfni 5335 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
94, 6, 8sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` S ) e. _V )
103, 9eqeltrid 2276 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> X e. _V )
11 isghm.x . . . . . . . 8 |- Y = ( Base ` T )
12 elex 2763 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. Grp -> T e. _V )
1312adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> T e. _V )
14 funfvex 5551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1514funfni 5335 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
164, 13, 15sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1711, 16eqeltrid 2276 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> Y e. _V )
18 mapex 6681 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
1910, 17, 18syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
20 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
2120ss2abi 3242 . . . . . . 7 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
2221a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y } )
2319, 22ssexd 4158 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V )
24 vex 2755 . . . . . . . . . 10 |- s e. _V
25 funfvex 5551 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
2625funfni 5335 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
274, 24, 26mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) e. _V
28 feq2 5368 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
29 raleq 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3029raleqbi1dv 2694 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3128, 30anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
3227, 31sbcie 3012 . . . . . . . 8 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
33 fveq2 5534 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
3433, 3eqtr4di 2240 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
3534feq2d 5372 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
36 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
37 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3836, 37eqtr4di 2240 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3938oveqd 5914 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
4039fveqeq2d 5542 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4134, 40raleqbidv 2698 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4234, 41raleqbidv 2698 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4335, 42anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4432, 43bitrid 192 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4544abbidv 2307 . . . . . 6 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
46 fveq2 5534 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
4746, 11eqtr4di 2240 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
4847feq3d 5373 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
49 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
50 isghm.b . . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` T )
5149, 50eqtr4di 2240 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
5251oveqd 5914 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
5352eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
54532ralbidv 2514 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
5548, 54anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
5655abbidv 2307 . . . . . 6 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5745, 56, 1ovmpog 6032 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp /\ { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5823, 57mpd3an3 1349 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5958eleq2d 2259 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
60 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
6110adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> X e. _V )
6260, 61fexd 5767 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F e. _V )
6362ex 115 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F : X --> Y -> F e. _V ) )
6463adantrd 279 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) )
65 feq1 5367 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
66 fveq1 5533 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
67 fveq1 5533 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
68 fveq1 5533 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
6967, 68oveq12d 5915 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
7066, 69eqeq12d 2204 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
71702ralbidv 2514 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
7265, 71anbi12d 473 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7372elab3g 2903 . . . 4 |- ( ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7464, 73syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7559, 74bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
762, 75biadanii 613 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   _Vcvv 2752   [.wsbc 2977   C_ wss 3144   Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   Grpcgrp 12960   GrpHom cghm 13196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-inn 8951  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-ghm 13197
This theorem is referenced by:  isghm3  13200  ghmgrp1  13201  ghmgrp2  13202  ghmf  13203  ghmlin  13204  isghmd  13208  idghm  13215  ghmf1o  13231  rhmopp  13543  mulgghm2  13923
  Copyright terms: Public domain W3C validator