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Theorem isghm 13579
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w |- X = ( Base ` S )
isghm.x |- Y = ( Base ` T )
isghm.a |- .+ = ( +g ` S )
isghm.b |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
isghm |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v
Proof of Theorem isghm
Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 13577 . . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
21elmpocl 6141 . 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3 isghm.w . . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
4 basfn 12890 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
5 elex 2783 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> S e. _V )
65adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> S e. _V )
7 funfvex 5593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
87funfni 5376 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
94, 6, 8sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` S ) e. _V )
103, 9eqeltrid 2292 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> X e. _V )
11 isghm.x . . . . . . . 8 |- Y = ( Base ` T )
12 elex 2783 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. Grp -> T e. _V )
1312adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> T e. _V )
14 funfvex 5593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1514funfni 5376 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
164, 13, 15sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` T ) e. _V )
1711, 16eqeltrid 2292 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> Y e. _V )
18 mapex 6741 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
1910, 17, 18syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
20 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
2120ss2abi 3265 . . . . . . 7 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
2221a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y } )
2319, 22ssexd 4184 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V )
24 vex 2775 . . . . . . . . . 10 |- s e. _V
25 funfvex 5593 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
2625funfni 5376 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
274, 24, 26mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) e. _V
28 feq2 5409 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
29 raleq 2702 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3029raleqbi1dv 2714 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
3128, 30anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
3227, 31sbcie 3033 . . . . . . . 8 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
33 fveq2 5576 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
3433, 3eqtr4di 2256 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
3534feq2d 5413 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
36 fveq2 5576 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
37 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3836, 37eqtr4di 2256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3938oveqd 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
4039fveqeq2d 5584 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4134, 40raleqbidv 2718 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4234, 41raleqbidv 2718 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
4335, 42anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4432, 43bitrid 192 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
4544abbidv 2323 . . . . . 6 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
46 fveq2 5576 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
4746, 11eqtr4di 2256 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
4847feq3d 5414 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
49 fveq2 5576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
50 isghm.b . . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` T )
5149, 50eqtr4di 2256 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
5251oveqd 5961 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
5352eqeq2d 2217 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
54532ralbidv 2530 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
5548, 54anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
5655abbidv 2323 . . . . . 6 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5745, 56, 1ovmpog 6080 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp /\ { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5823, 57mpd3an3 1351 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
5958eleq2d 2275 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
60 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
6110adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> X e. _V )
6260, 61fexd 5814 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F e. _V )
6362ex 115 . . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F : X --> Y -> F e. _V ) )
6463adantrd 279 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) )
65 feq1 5408 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
66 fveq1 5575 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
67 fveq1 5575 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
68 fveq1 5575 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
6967, 68oveq12d 5962 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
7066, 69eqeq12d 2220 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
71702ralbidv 2530 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
7265, 71anbi12d 473 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7372elab3g 2924 . . . 4 |- ( ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7464, 73syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
7559, 74bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
762, 75biadanii 613 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   _Vcvv 2772   [.wsbc 2998   C_ wss 3166   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   GrpHom cghm 13576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-ghm 13577
This theorem is referenced by:  isghm3  13580  ghmgrp1  13581  ghmgrp2  13582  ghmf  13583  ghmlin  13584  isghmd  13588  idghm  13595  ghmf1o  13611  rhmopp  13938  expghmap  14369  mulgghm2  14370
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