Theorem isghm 14046

Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghm.w	|- X = ( Base ` S )
isghm.x	|- Y = ( Base ` T )
isghm.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghm.b	|- .+^ = ( +g ` T )

Assertion

Ref	Expression
isghm	|- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v

Proof of Theorem isghm

Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ghm 14044	. . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
2	1	elmpocl 6284	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3		isghm.w	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
4		basfn 13411	. . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
5		elex 2833	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> S e. _V )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> S e. _V )
7		funfvex 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
8	7	funfni 5483	. . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
9	4, 6, 8	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` S ) e. _V )
10	3, 9	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> X e. _V )
11		isghm.x	. . . . . . . 8 |- Y = ( Base ` T )
12		elex 2833	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. Grp -> T e. _V )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> T e. _V )
14		funfvex 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
15	14	funfni 5483	. . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
16	4, 13, 15	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( Base ` T ) e. _V )
17	11, 16	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> Y e. _V )
18		mapex 6928	. . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
19	10, 17, 18	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
20		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
21	20	ss2abi 3320	. . . . . . 7 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
22	21	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y } )
23	19, 22	ssexd 4273	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V )
24		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- s e. _V
25		funfvex 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
26	25	funfni 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
27	4, 24, 26	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) e. _V
28		feq2 5517	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
29		raleq 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
30	29	raleqbi1dv 2761	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
31	28, 30	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
32	27, 31	sbcie 3086	. . . . . . . 8 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
33		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
34	33, 3	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
35	34	feq2d 5521	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
36		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
37		isghm.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
38	36, 37	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
39	38	oveqd 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
40	39	fveqeq2d 5703	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
41	34, 40	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
42	34, 41	raleqbidv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
43	35, 42	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
44	32, 43	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
45	44	abbidv 2358	. . . . . 6 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
46		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
47	46, 11	eqtr4di 2289	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
48	47	feq3d 5522	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
49		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
50		isghm.b	. . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` T )
51	49, 50	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
52	51	oveqd 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
53	52	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
54	53	2ralbidv 2574	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
55	48, 54	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
56	55	abbidv 2358	. . . . . 6 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
57	45, 56, 1	ovmpog 6223	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp /\ { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
58	23, 57	mpd3an3 1379	. . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
59	58	eleq2d 2308	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
60		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
61	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> X e. _V )
62	60, 61	fexd 5948	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ F : X --> Y ) -> F e. _V )
63	62	ex 115	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F : X --> Y -> F e. _V ) )
64	63	adantrd 279	. . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) )
65		feq1 5516	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
66		fveq1 5694	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
67		fveq1 5694	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
68		fveq1 5694	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
69	67, 68	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
70	66, 69	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
71	70	2ralbidv 2574	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
72	65, 71	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
73	72	elab3g 2977	. . . 4 |- ( ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
74	64, 73	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
75	59, 74	bitrd 188	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
76	2, 75	biadanii 621	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   C_ wss 3220   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   Grpcgrp 13805   GrpHom cghm 14043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-ghm 14044

This theorem is used by:  isghm3  14047  ghmgrp1  14048  ghmgrp2  14049  ghmf  14050  ghmlin  14051  isghmd  14055  idghm  14062  ghmf1o  14078  rhmopp  14483  expghmap  14942  mulgghm2  14943